高考申論題
105年
[工業工程] 作業研究
第 四 題
四、一生產系統其生產狀態（States）可區分為四種：（1, 2, 3, 4），其中狀態（1, 2, 3）可歸類為正常（Up, in control），生產之成品為良品，狀態（4）可歸類為不正常或故障（Down, out of control），生產之成品為不良品，其馬可夫鏈機率轉移矩陣如下：
P =
1 | 0.8 0.1 0.1 0
2 | 0.1 0.8 0 0.1
3 | 0 0 0.6 0.4
4 | 0.8 0 0 0.2
請估計系統故障速率（即每單位時間或每期之故障次數），生產良品（系統正常）之期望時間長度，與生產不良品（系統不正常）之期望時間長度。（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題測驗馬可夫鏈（Markov Chain）的穩態機率與首步分析（First-step analysis）。解題關鍵在於先建立聯立方程式求出各狀態的穩定狀態機率，接著利用「進入故障狀態的頻率等於離開的頻率」求出故障速率，最後透過首步方程式或交替更新過程（Alternating Renewal Process）的幾何分配性質，推導出期望的正常與故障時間。
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【解題思路】本題運用馬可夫鏈之穩定狀態機率（Steady-state probabilities）、首步分析（First-step analysis）及交替更新過程求解。 【詳解】 依據題目原始圖片所示，定義馬可夫鏈之機率轉移矩陣 $P$ 如下（註：狀態 1, 2, 3 為正常，狀態 4 為故障）：
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