高考申論題
105年
[經建行政] 統計學
第 三 題
三、若 Y 之機率密度函數如下：
f(y) = { φ(y) / (Φ(b) - Φ(a)) , a < y < b
{ 0 , 其他
其中φ(y)與Φ(y)分別為標準常態分配的機率密度函數與分配函數。請推導求得 Y 的期望值 E(Y) = (φ(a) - φ(b)) / (Φ(b) - Φ(a)) 。（13 分）
f(y) = { φ(y) / (Φ(b) - Φ(a)) , a < y < b
{ 0 , 其他
其中φ(y)與Φ(y)分別為標準常態分配的機率密度函數與分配函數。請推導求得 Y 的期望值 E(Y) = (φ(a) - φ(b)) / (Φ(b) - Φ(a)) 。（13 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到此題應立刻辨認出為「截斷常態分配（Truncated Normal Distribution）」的期望值推導。解題核心在於利用連續型隨機變數期望值的定義式展開，並運用標準常態分配機率密度函數之微積分性質：$\frac{d}{dy}\phi(y) = -y\phi(y)$，將 $y\phi(y)$ 轉換為可直接求定積分的反導數形式。
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【解題思路】利用期望值定義式展開定積分，並運用標準常態分配機率密度函數的一階導數性質（$\frac{d}{dy}\phi(y) = -y\phi(y)$）來求解積分。 【詳解】 已知：
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