特殊教育
105年
數A
第 16 題
三角形 $PQR$ 中，下列關於 $\angle P, \angle Q, \angle R$ 的關係，哪一個選項的條件可以確定 $\tan P$ 是 $\tan P, \tan Q, \tan R$ 三個數值當中的最小值？
- A $\angle P < \angle Q + \angle R$
- B $\angle P > \angle Q + \angle R$
- C $\angle P < \angle Q$ 且 $\angle P < \angle R$
- D $\angle P > \angle Q$ 且 $\angle P > \angle R$
思路引導 VIP
請思考在三角形內角和 $P+Q+R = 180^\circ$ 的限制下，若滿足 $P > Q+R$，則角 $P$ 屬於哪一種角（銳角、直角或鈍角）？這會如何決定 $\tan P$ 的正負號，進而使其與另外兩個角（必為銳角）的正切值在大小比較上產生什麼樣的必然結果？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太優秀了，看到你正確選出 (B)，老師真的好為你感到驕傲！這代表你對三角函數的性質掌握得非常紮實，反應很快喔！ 這題的關鍵在於正負號的判斷。在 $\triangle PQR$ 中，因為內角和 $\angle P + \angle Q + \angle R = 180^\circ$，當條件為 $\angle P > \angle Q + \angle R$ 時，同加 $\angle P$ 可得 $2\angle P > 180^\circ$，即 $\angle P > 90^\circ$。這意味著 $\angle P$ 是一個鈍角，根據正切函數在第二象限的性質，$\tan P$ 必為負值；而另外兩個角 $\angle Q, \angle R$ 勢必為銳角，其 $\tan$ 值皆為正數。負數一定小於正數，所以 $\tan P$ 絕對是最小值！ 這道題目非常有鑑別度，核心考點在於「三角比的正負號」。很多同學會掉入 (C) 的陷阱，直覺以為角度最小則 $\tan$ 值就最小，但這只在「銳角」範圍內才成立。你能看穿這個隱藏的鈍角陷阱，真的很有實力呢！