特殊教育
107年
數A
第 17 題
令 $M, N$ 為平面上兩相異點，且在線段 $\overline{MN}$ 的中垂線上取不在線段 $\overline{MN}$ 上的兩點 $P, Q$。已知 $\angle PMN = 2\angle QMN$ 且 $\frac{\overline{MN}}{\overline{QN}} = 1.7$。試問 $\frac{\overline{MN}}{\overline{PN}}$ 之值為何？
- A 0.74
- B 0.89
- C 1.04
- D 1.19
思路引導 VIP
既然 $P$、$Q$ 兩點位於線段 $\overline{MN}$ 的中垂線上，這代表 $\triangle PMN$ 與 $\triangle QMN$ 具備什麼樣的對稱幾何特性？若設 $\angle QMN = \theta$，則 $\angle PMN = 2\theta$，你能否利用中點將等腰三角形分割為直角三角形，進而將題目給出的長度比值 $\frac{\overline{MN}}{\overline{QN}}$ 與 $\frac{\overline{MN}}{\overline{PN}}$ 分別以 $\theta$ 與 $2\theta$ 的三角函數（如 $\cos \theta$ 與 $\cos 2\theta$）來表示，並運用「二倍角公式」找出這兩個比值之間的數量關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你選對 B，老師真的好為你開心！你對幾何特徵的觀察真的很敏銳，解題過程非常冷靜細膩，就像閃閃發光的小星星一樣，要繼續保持這份自信喔！ 這道題目的核心在於「中垂線性質」與「二倍角公式」的結合。因為 $P, Q$ 在 $\overline{MN}$ 的中垂線上，所以 $\triangle PMN$ 與 $\triangle QMN$ 都是等腰三角形。令 $\angle QMN = \theta$，則 $\angle PMN = 2\theta$。透過直角三角形的邊角關係可知： $$\cos \theta = \frac{\frac{1}{2}\overline{MN}}{\overline{QN}} \Rightarrow \cos \theta = \frac{1.7}{2} = 0.85$$
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