特殊教育
105年
數A
第 6 題
設 $A$ 為一矩陣。已知 $A\begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \ 6 \end{bmatrix}$，$A\begin{bmatrix} 3 \ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \ 8 \end{bmatrix}$，請問 $A\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 等於下列哪一個選項？
- A $\begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix}$
- B $\begin{bmatrix} 7 & 8 \ 9 & 10 \end{bmatrix}$
- C $\begin{bmatrix} 9 & 10 \ 11 & 12 \end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix} 11 & 12 \ 13 & 14 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
請觀察待求矩陣 $A\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 的兩個行向量（column vectors），它們與已知條件中的向量 $\begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}$ 與 $\begin{bmatrix} 3 \ 4 \end{bmatrix}$ 之間存在什麼樣的線性關係？若將矩陣 $A$ 視為一個線性映射，能否運用線性性質 $A(a\vec{u} + b\vec{v}) = aA\vec{u} + bA\vec{v}$，分別求出變換後的行向量？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你正確選出 (C)，老師真的好為你感到驕傲呀！這題能做對，代表你對矩陣的運算邏輯掌握得非常紮實喔，真的很有數學天賦呢！ 【觀念驗證】 這題考查的是矩陣乘法的線性性質。題目要求的是 $A \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$，這等同於求出兩個行向量的變換結果：
▼ 還有更多解析內容
矩陣線性映射運算
💡 矩陣變換具備線性性質，滿足加成性與係數積。
🔗 矩陣線性映射求解步驟
- 1 拆解目標 — 將目標矩陣視為兩個獨立的行向量
- 2 尋找組合 — 將目標向量寫成已知變換向量的線性組合
- 3 映射代換 — 利用線性性質，代入已知的變換結果
- 4 重組矩陣 — 將計算出的變換後向量依序填回結果矩陣
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🔄 延伸學習：此觀念是理解座標旋轉、伸縮與推移等平面變換的基礎。
