調查局三等申論題
105年
[電子科學組] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
在同調 FSK 接收器系統中，代表數位信號 1 與 0 之調變波分別為 s1(t)與 s0(t)，其數學表示式如下： s1(t) = Ac cos[2π(fc + Δf/2)t] , 0 ≤ t ≤ Tb s0(t) = Ac cos[2π(fc − Δf/2)t] , 0 ≤ t ≤ Tb
在同調 FSK 接收器系統中，代表數位信號 1 與 0 之調變波分別為 s1(t)與 s0(t)，其數學表示式如下： s1(t) = Ac cos[2π(fc + Δf/2)t] , 0 ≤ t ≤ Tb s0(t) = Ac cos[2π(fc − Δf/2)t] , 0 ≤ t ≤ Tb
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
假設 fc > Δf，證明 s1(t)與 s0(t)之相關係數（correlation coefficient）為
ρ ≅ sinc(2TbΔf)。（公式詳見原卷，積分區間為 0 到 Tb）。（10 分）
思路引導 VIP
考生看到此題應先寫出兩訊號的相關係數定義（即正規化內積）。接著利用「積化和差」公式展開分子與分母的三角函數乘積，並運用通訊系統中常見的假設（載波頻率遠大於符元率，高頻積分項趨近於零）來消除兩倍載波頻率的項，最後化簡即可得到 sinc 函數的結果。
小題 (二)
會使 s1(t)與 s0(t)成正交之最小平移頻率 Δf 為何？（10 分）
思路引導 VIP
看到「正交（Orthogonality）」關鍵字，首要聯想就是兩信號在符元時間（Tb）內的內積必須等於零。利用積分定義寫出算式，搭配三角函數的「積化和差」公式將相乘項拆解為和頻與差頻，並運用通訊系統中「載波頻率遠大於信號頻寬（fc ≫ 1/Tb）」的物理假設消去高頻項，即可解出最小平移頻率 Δf。