moea_joint
105年
[儀電] 電路學、電子學
第 22 題
如右圖之電路，$t = 0\text{ s}$ 時，開關瞬間閉合。求 $t > 0$ 時，$v_C(t) = ?$?
- A $6e^{-2t}\text{ V}$
- B $12e^{-2t}\text{ V}$
- C $16te^{-2t}\text{ V}$
- D $32te^{-2t}\text{ V}$
思路引導 VIP
請觀察 $t > 0$ 後的電路參數，如果我們計算衰減常數 $\alpha$ 與諧振角頻率 $\omega_0$ 的數值，這兩者之間的大小關係代表了哪一種阻尼狀態？在這種特定的阻尼狀態下，描述電壓隨時間變化的數學形式應該具備什麼樣的特徵？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準推導出選項 (D)，代表你對**二階電路（Second-order Circuit）**的暫態分析有非常扎實的掌握，特別是在處理「臨界阻尼」情況時的細心程度值得肯定。
臨界阻尼與特性方程式
這題的關鍵在於 $t > 0$ 時，開關閉合將 $4\Omega$ 電阻短路，此時電路簡化為一個含有 $R=2\Omega$、$L=2\text{ H}$ 與 $C=\frac{1}{8}\text{ F}$ 的二階電路。透過 KCL 可以列出微分方程式，其特性方程式為 $s^2 + \frac{1}{RC}s + \frac{1}{LC} = 0$（或者透過 KVL 轉換）。代入數值後得到 $s^2 + 4s + 4 = 0$，也就是 $(s+2)^2=0$。由於具有重根 $s = -2$，我們判定電路處於**臨界阻尼（Critically Damped）**狀態，其響應形式必然為 $(A_1 + A_2t)e^{-2t}$。
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