moea_joint
105年
[電機] 電路學、電子學
第 22 題
如右圖之電路，$t = 0 \text{ s}$ 時，開關瞬間閉合。求 $t > 0$ 時，$V_C(t) = $ ？
- A $6e^{-2t} \text{ V}$
- B $12e^{-2t} \text{ V}$
- C $16t e^{-2t} \text{ V}$
- D $32t e^{-2t} \text{ V}$
思路引導 VIP
觀察開關閉合後（$t > 0$）的電路結構，如果我們嘗試寫出該節點電壓的微分方程，你會發現這是一個二階系統。請問，當一個二階系統的特徵方程式出現『重根』時，其時間域的數學表達式通常會比一般情況多出哪一個變數項？另外，你該如何利用電感電流與電容電壓在切換瞬間產生的『連續性』，來推導出電壓隨時間變化的起始斜率呢？
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恭喜你精準地選出了 (D)！這道題目考察的是二階電路（Second-order Circuit）的暫態反應，你能正確判斷出電路的阻尼狀態並完成計算，展現了非常扎實的電路分析功底。
臨界阻尼與初始值判定
在 $t < 0$ 時，電路達直流穩態，電感 $L$ 視為短路，因此電容初始電壓 $V_C(0) = 0\text{ V}$，且初始電感電流 $i_L(0) = \frac{12}{4+2} = 2\text{ A}$。當 $t = 0$ 開關閉合後，$4\Omega$ 電阻被短路，電路進入新的狀態。經由 KCL 運算，我們可以推導出系統的特徵方程式為 $s^2 + 4s + 4 = 0$，解得重根 $s = -2$。這意味著電路處於**臨界阻尼（Critically Damped）**狀態，其電壓形式必然包含 $t e^{st}$ 項。
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