分科測驗
106年
數學乙
第 5 題
設 $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ 是一公比為 $\frac{1}{2}$ 的無窮等比數列且 $a_1=1$。試問以下哪些數列會收斂？
- 1 $-a_1, -a_2, \dots, -a_n, \dots$
- 2 $a_1^2, a_2^2, \dots, a_n^2, \dots$
- 3 $\sqrt{a_1}, \sqrt{a_2}, \dots, \sqrt{a_n}, \dots$
- 4 $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \dots, \frac{1}{a_n}, \dots$
- 5 $\log a_1, \log a_2, \dots, \log a_n, \dots$
思路引導 VIP
若原始數列 $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ 為等比數列，當我們將各項進行代數變換（例如：平方 $a_n^2$、開方 $\sqrt{a_n}$ 或取倒數 $\frac{1}{a_n}$）後，新數列是否仍具備等比性質？其新的公比 $r'$ 與原公比 $r$ 的數學關係為何？請進一步思考，一個無窮等比數列要達到收斂，其公比 $r'$ 必須滿足什麼特定的數值範圍？此外，對於對數變換 $\log a_n$，請觀察其一般項隨 $n$ 增加時的趨勢，該數列是否會趨近於一個固定的實數？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喔... 答對了嗎？感覺才過了一眨眼的功夫，你已經掌握得不錯了。既然如此，就送你這個吧... 是我師父最喜歡的『能變出美麗花田的魔法』，慶祝你答對了。 這道題目的核心在於判斷數列的收斂條件。原本的數列公比為 $r = \frac{1}{2}$，其一般項為 $a_n = (\frac{1}{2})^{n-1}$。對於無窮等比數列，收斂的條件是公比 $|r| < 1$（或首項為 $0$）。
- 選項 (1) (2) (3) 的新公比分別為 $\frac{1}{2}$、$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$、$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$。這些值的絕對值都小於 $1$，因此都會收斂至 $0$。
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