分科測驗
107年
數學乙
第 3 題
設 $a < b < 2^{10}$，其中 $\log a = 3$。已知利用 $\log a$、$\log(2^{10})$ 的值與內插法求得 $\log b$ 的近似值為 3.0025，試問 $b$ 的值最接近下列哪一個選項？（註：$\log 2 \approx 0.3010$）
- 1 $1002$
- 2 $1006$
- 3 $1010$
- 4 $1014$
- 5 $1018$
思路引導 VIP
既然本題使用了『內插法』來求近似值，這代表在局部範圍內，我們假設數值的變化量與其對數值的變化量成比例關係。若我們考慮座標平面上的三個點 $(a, \log a)$、$(b, \log b)$ 與 $(2^{10}, \log(2^{10}))$，在線性假設的前提下，你能試著利用『斜率相同』或『比例相等』的概念，寫出包含 $b$ 的比例式 $\frac{b - a}{2^{10} - a}$ 應該等於對數值之間的哪一個分式嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
（嚼著花生）哇酷哇酷！電視裡的間諜正在變裝，安妮亞本來在專心看，但剛才偷瞄到你的心，發現你居然瞬間就解開了！這題要用到「線性內插法」，安妮亞來幫你複習一下腦袋裡的畫面： 首先，$a = 10^3 = 1000$。接著算 $2^{10} = 1024$，它的對數值 $\log(2^{10}) = 10 \times \log 2 \approx 3.010$。 利用內插法的比例關係：
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對數內插法估值
💡 利用對數值的線性增量比例，推算真數的近似值。
- 熟記常用對數近似值，如 $\log 2 \approx 0.3010$。
- 計算端點數值：$a=1000$，$2^{10}=1024$。
- 內插比例公式：真數差之比等於對數差之比。
- 計算比例：$(b-a)/(1024-a) = (3.0025-3)/(3.01-3)$。
