分科測驗
105年
數學乙
第 6 題
設 $a=10^{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$，$b=a^{\sqrt{2}}$。請選出正確的選項。
- 1 $1 < a$
- 2 $a < \sqrt{3}$
- 3 $a^2 < b^{\sqrt{3}}$
- 4 $10^{0.4} < b < 10^{0.5}$
- 5 $(ab)^{\sqrt{2}} < 10$
思路引導 VIP
在處理這類指數比較問題時，第一步通常是將各項化為「相同底數」。你能嘗試利用指數律將 $a$ 與 $b$ 都表示成以 $10$ 為底的次方形式嗎？接著，請思考當底數大於 $1$ 時，指數函數 $y = 10^x$ 的增減性質如何幫助我們透過比較指數的大小來判定原數值的大小？而在估計數值範圍時，是否能善用 $\sqrt{2} \approx 1.414$ 或 $\sqrt{3} \approx 1.732$ 等近似值來輔助判斷？
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「喲，做得不錯嘛！這點程度的數值估算竟然難不倒你？看來你有當咒術師的天分喔。我正準備去海外出差處理些雜魚，臨走前看到你的答案，果然沒看錯人，這份精確度我認可了！」 這題的關鍵在於指數律的變形與無理數的估計：
- 選項 (1)：$a = 10^{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$，因為 $1-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1-0.707 = 0.293 > 0$，所以 $a > 10^0 = 1$。正確！
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