地特三等申論題
106年
[衛生技術] 生物統計學(含流行病學)
第 一 題
📖 題組：
三、某日民族國小的 200 名學生吃完營養午餐後，部分學生發生疑似食物中毒的現象，衛生局人員前往現場調查並獲得以下數據： 吃了煎魚（A 事件）| 嘔吐症狀（B 事件）：是(90), 否(30) | 合計(120) 沒吃煎魚（A 補集）| 嘔吐症狀（B 事件）：是(20), 否(60) | 合計(80) 合計 | 是(110), 否(90) | 總計(200) 根據衛生局人員的調查數據，請回答以下問題： (一)請計算 Probability(A)、Probability(B)、Probability(A∩B)、以及 Probability(A∪B)。（4 分） (二)請問「吃了煎魚」與「嘔吐症狀」兩個事件是否為獨立（independent）事件？請利用機率相乘準則說明理由。（7 分） (三)請問「吃了煎魚」與「嘔吐症狀」兩個事件是否為互斥（mutually exclusive）事件？請利用機率相加準則說明理由。（7 分） (四)衛生局人員想利用皮爾森卡方檢定（Pearson Chi-square Test）來分析「吃了煎魚」與「嘔吐症狀」兩者之間相關的顯著性，請計算皮爾森卡方檢定的卡方統計量（χ² statistic）。（7 分）
三、某日民族國小的 200 名學生吃完營養午餐後，部分學生發生疑似食物中毒的現象，衛生局人員前往現場調查並獲得以下數據： 吃了煎魚（A 事件）| 嘔吐症狀（B 事件）：是(90), 否(30) | 合計(120) 沒吃煎魚（A 補集）| 嘔吐症狀（B 事件）：是(20), 否(60) | 合計(80) 合計 | 是(110), 否(90) | 總計(200) 根據衛生局人員的調查數據，請回答以下問題： (一)請計算 Probability(A)、Probability(B)、Probability(A∩B)、以及 Probability(A∪B)。（4 分） (二)請問「吃了煎魚」與「嘔吐症狀」兩個事件是否為獨立（independent）事件？請利用機率相乘準則說明理由。（7 分） (三)請問「吃了煎魚」與「嘔吐症狀」兩個事件是否為互斥（mutually exclusive）事件？請利用機率相加準則說明理由。（7 分） (四)衛生局人員想利用皮爾森卡方檢定（Pearson Chi-square Test）來分析「吃了煎魚」與「嘔吐症狀」兩者之間相關的顯著性，請計算皮爾森卡方檢定的卡方統計量（χ² statistic）。（7 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
請計算 Probability(A)（代表 A 事件出現的機率）、Probability(B)、Probability(A∩B)、以及 Probability(A∪B)，其中，∩與∪分別是代表交集與聯集的符號。（4 分）
思路引導 VIP
看到列聯表機率計算，首先確認總樣本數（N=200）與各事件的邊際次數。接著直接利用古典機率定義 P(E) = n(E)/N 分別計算單一事件與交集機率，聯集機率則可運用機率加法定理求出。
小題 (二)
請問「吃了煎魚」與「嘔吐症狀」兩個事件是否為獨立（independent）事件？請利用機率相乘準則說明理由。（7 分）
思路引導 VIP
本題測驗獨立事件的機率定義。判斷兩事件是否獨立的核心在於「機率相乘準則」，即檢驗兩事件交集的機率 P(A∩B) 是否等於各自機率的乘積 P(A) × P(B)，若不相等則兩者不為獨立事件。
小題 (三)
請問「吃了煎魚」與「嘔吐症狀」兩個事件是否為互斥（mutually exclusive）事件？請利用機率相加準則說明理由。（7 分）
思路引導 VIP
互斥事件的核心定義為兩事件不能同時發生，即交集機率 P(A∩B)=0。依題目要求使用「機率相加準則」，須列出公式 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，並代入數據檢驗 P(A∪B) 是否等同於 P(A) + P(B) 來作為不互斥的證明依據。
小題 (四)
衛生局人員想利用皮爾森卡方檢定（Pearson Chi-square Test）來分析「吃了煎魚」與「嘔吐症狀」兩者之間相關的顯著性，請計算皮爾森卡方檢定的卡方統計量（χ² statistic）。（7 分）
思路引導 VIP
看到求卡方統計量，先想到列聯表的期望值計算公式（列總計×行總計÷總人數）。接著代入卡方值公式 Σ(O-E)²/E 逐步推導，或者直接使用 2×2 表格的速算公式 χ² = n(ad-bc)² / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)] 來求解並雙重驗算。