普考申論題
106年
[土木工程] 工程力學概要
第 一 題
📖 題組：
四、有一懸臂梁受軸向壓力 P 如圖四所示，梁之橫斷面如圖五所示。試求 e1 及 e2 之值，以確定斷面形心 C 之位置，並計算慣性矩 Iy、Iz、Iyz（y 及 z 軸穿過斷面形心 C）。（20 分）如此梁可在 yz 面任一方向挫屈，且其彈性係數 E = 20 GPa，請計算此梁之臨界挫屈載重Pcr。（5 分）
四、有一懸臂梁受軸向壓力 P 如圖四所示，梁之橫斷面如圖五所示。試求 e1 及 e2 之值，以確定斷面形心 C 之位置，並計算慣性矩 Iy、Iz、Iyz（y 及 z 軸穿過斷面形心 C）。（20 分）如此梁可在 yz 面任一方向挫屈，且其彈性係數 E = 20 GPa，請計算此梁之臨界挫屈載重Pcr。（5 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
試求 e1 及 e2 之值，以確定斷面形心 C 之位置，並計算慣性矩 Iy、Iz、Iyz（y 及 z 軸穿過斷面形心 C）。（20 分）
思路引導 VIP
這是一個典型的「非對稱斷面幾何性質分析」考題。看到這種題目，首先要具備「分割與組合」的概念。面對不規則形狀（如本題類似不對稱的倒 U 型或槽型斷面），必須將其拆解為若干個簡單的矩形（例如：頂板、左腹板、右腹板）。
- 求解形心（e1, e2）：建立一個方便計算的臨時基準座標系（例如以頂面左上角為原點）。計算每個小矩形的面積 $A_i$ 及其自身形心至基準座標的距離 $y_i, z_i$。然後套用面積一次矩公式：$Z_c = \sum(A_i z_i) / \sum A_i$，$Y_c = \sum(A_i y_i) / \sum A_i$，即可推導出形心 C 的位置，對應圖示解出 e1 與 e2。
小題 (二)
如此梁可在 yz 面任一方向挫屈，且其彈性係數 E = 20 GPa，請計算此梁之臨界挫屈載重Pcr。（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗「尤拉臨界挫屈載重」與「主慣性矩」的結合應用。題目特別強調「可在 yz 面任一方向挫屈」，這是一句極重要的關鍵詞，意味著柱子在受壓時，會自動尋找抵抗彎曲能力最弱的方向發生挫屈，也就是「最小主慣性矩 (I_min)」對應的主軸方向。
- 首先，不能直接拿前一題的 Iy 或 Iz 去算！因為這是不對稱斷面，主軸與 y,z 軸有夾角。必須利用莫耳圓（Mohr's Circle of Inertia）或主慣性矩公式：$I_{min} = \frac{I_y + I_z}{2} - \sqrt{(\frac{I_y - I_z}{2})^2 + I_{yz}^2}$ 來求出真正的最小慣性矩。