普考申論題
106年
[經建行政] 統計學概要
第 二 題
📖 題組：
張三期末考考三科（微積分、統計學及英文），他微積分及格的機率為0.7，統計學及英文及格的機率分別為 0.8 及 0.6。已知張三在此三科的表現互為獨立，請計算出張三在以下三種情況下的機率：
張三期末考考三科（微積分、統計學及英文），他微積分及格的機率為0.7，統計學及英文及格的機率分別為 0.8 及 0.6。已知張三在此三科的表現互為獨立，請計算出張三在以下三種情況下的機率：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
只有一科不及格的機率。（10 分）
思路引導 VIP
看到「互為獨立」應立即想到聯合機率等於邊際機率的連乘積。「只有一科不及格」是一個複合事件，包含三種互斥情況（僅微積分不及格、僅統計不及格、僅英文不及格），分別計算這三種情況的機率後再相加即可求得解答。
小題 (一)
此三科考試都不及格的機率。（5 分）
思路引導 VIP
本題考查獨立事件與餘事件的機率計算。看到「互為獨立」應想到聯合機率可透過邊際機率直接相乘求得，而「都不及格」為「及格」的餘事件，因此先求出各科不及格的機率後再連乘即可。
小題 (三)
已知只有一科不及格的情況下，此不及格科目為英文的機率。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗核心為「獨立事件機率計算」與「條件機率公式」。看到題目出現「已知...的情況下」，應立即聯想到條件機率 P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。解題時需先計算出「恰好一科不及格」的所有可能機率總和作為分母，再將「只有英文不及格」的機率作為分子，最後相除即可求得標準解答。
獨立事件機率計算
💡 利用獨立事件乘法定理與互斥事件加法定理求解組合機率。
🔗 獨立事件組合機率求解流程
- 1 定義與求補集 — 算出各科不及格機率 P(A')=1-P(A)
- 2 窮舉特定情境 — 列出所有符合「僅一科不及格」的互斥組合
- 3 乘法定理計算 — 依獨立性將各組合內的機率值相乘
- 4 加法定理總結 — 將各互斥情境的機率相加得出最終答案
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🔄 延伸學習：當各次試驗勝率相同且次數固定時，此邏輯可延伸為「二項分布」公式。
