高考申論題
106年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
某休閒度假村有 3 處住宿區，分別是靠海岸的海景小屋、沿山坡的豪華小木屋及溫馨舒適大樓的精緻客房。其中海景小屋 80 間，豪華小木屋 60 間，以及精緻客房 260 間。現度假村經理想了解住宿客人對度假村提供的服務是否滿意，擬進行一項調查計畫。由於 3 處住宿區的位置及房價均有所差異，決定分層進行調查，調查費用因住宿區房間的距離不同而不同，豪華小木屋分布範圍最大，所以調查費用最高。已知每間海景小屋的調查費用為 64 元，每間豪華小木屋的調查費用為 100 元，而每間精緻客房的調查費用為 36 元。根據去年調查的結果得知，豪華小木屋區有 60% 的客人表示滿意，精緻客房區有 80% 的客人表示滿意，海景小屋今年才開始提供住宿服務，所以沒有資料可參考。 (一)若希望估計住宿客人滿意比例的信賴度為 95% 且誤差界限為 0.05，則須調查多少間海景小屋、豪華小木屋及精緻客房？此時調查總費用為何？（15 分） (二)若調查總費用的預算為 5,000 元，則調查多少間海景小屋、豪華小木屋及精緻客房才能使住宿客人滿意比例之估計式的變異數最小。（10 分）
某休閒度假村有 3 處住宿區，分別是靠海岸的海景小屋、沿山坡的豪華小木屋及溫馨舒適大樓的精緻客房。其中海景小屋 80 間，豪華小木屋 60 間，以及精緻客房 260 間。現度假村經理想了解住宿客人對度假村提供的服務是否滿意，擬進行一項調查計畫。由於 3 處住宿區的位置及房價均有所差異，決定分層進行調查，調查費用因住宿區房間的距離不同而不同，豪華小木屋分布範圍最大，所以調查費用最高。已知每間海景小屋的調查費用為 64 元，每間豪華小木屋的調查費用為 100 元，而每間精緻客房的調查費用為 36 元。根據去年調查的結果得知，豪華小木屋區有 60% 的客人表示滿意，精緻客房區有 80% 的客人表示滿意，海景小屋今年才開始提供住宿服務，所以沒有資料可參考。 (一)若希望估計住宿客人滿意比例的信賴度為 95% 且誤差界限為 0.05，則須調查多少間海景小屋、豪華小木屋及精緻客房？此時調查總費用為何？（15 分） (二)若調查總費用的預算為 5,000 元，則調查多少間海景小屋、豪華小木屋及精緻客房才能使住宿客人滿意比例之估計式的變異數最小。（10 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
若希望估計住宿客人滿意比例的信賴度為 95% 且誤差界限為 0.05，則須調查多少間海景小屋、豪華小木屋及精緻客房？此時調查總費用為何？（15 分）
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本題測驗分層隨機抽樣下的「最佳配置 (Optimal Allocation)」。看到不同層有不同調查費用時，應優先想到 Neyman 最佳配置原則，利用公式分配樣本，並以未知比例 p=0.5 處理缺乏資料的海景小屋層以最大化變異估計。
小題 (二)
若調查總費用的預算為 5,000 元，則調查多少間海景小屋、豪華小木屋及精緻客房才能使住宿客人滿意比例之估計式的變異數最小。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗分層隨機抽樣中的「最佳配置（Optimum Allocation）」。當總調查費用固定，要求估計量變異數最小時，應聯想到利用 Lagrange 乘數法推導出的最佳樣本配置公式：$n_h \propto N_h S_h / \sqrt{c_h}$。解題關鍵在於判斷缺失的比例資料需以最保守的 $P=0.5$ 代入求極大化標準差，並計算出比例常數後將總預算分配至各層。
小題 (三)
在何種條件下，題(一)及(二)所述兩種抽樣法之母體平均數的估計值公式會相同？（5 分）
思路引導 VIP
考生看到此題應先將系統樣本視為一種特殊的『群集』，思考兩者在抽樣單位與樣本結構上的關聯。接著對比兩者的母體平均數估計公式，即可推導出『群集大小是否相等』是決定公式是否一致的關鍵條件。