第 三 題

本題測驗分層隨機抽樣下母體平均數之區間估計。考生需先計算出分層平均數估計量及其變異數估計值，最後再代入題目給定的 t 分配臨界值，即可求出 95% 信賴區間。

本題旨在考查對「不置回簡單隨機抽樣（SRSWOR）」基本統計性質的理解。首先，必須辨識出在 SRSWOR 之下，每一個樣本元素被抽中的機率是均等的。聯合機率分布應列出所有可能的樣本配對 $(Y_1, Y_2)$ 及其對應機率。關於共變異數，應先計算母體平均數 $mu$ 與母體變異數 $sigma^2$，再利用 SRSWOR 下樣本觀測值間的共變異數公式 $Cov(Y_i, Y_j) = -sigma^2 / (N-1)$ 進行求解。

此題進一步測試對 SRSWOR 對稱性的理解。在不置回抽樣中，任兩位位置的樣本觀測值 $(Y_i, Y_j)$ 之間的二階動差或共變異數與樣本總大小 $n$ 無關，僅與母體參數 $N$ 及 $sigma^2$ 有關。因此，不需要重新計算，直接套用前小題的邏輯即可。