高考申論題
106年
[統計] 統計實務(以實例命題)
第 二 題
📖 題組：
某飲料公司的自動裝填系統裝罐的容量為常態分布，平均值 367 ml，標準差 3 ml。標準為容量至少要 355 ml 才是合格。
某飲料公司的自動裝填系統裝罐的容量為常態分布，平均值 367 ml，標準差 3 ml。標準為容量至少要 355 ml 才是合格。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
如果標準差調到 1.5 ml，平均值要調到多少，合格率才會達到 99.9%？（15 分）
思路引導 VIP
本題屬於常態分配機率反推問題。解題關鍵在於利用標準化公式 $Z = (X - \mu) / \sigma$，根據給定的合格率 99.9%（對應的右尾面積），反查標準常態分配表得出臨界 $Z$ 值，再代入已知標準差解出新的平均值。
小題 (一)
如果標準差不變，平均值要調到多少，合格率才會達到 99.9%？（10 分）
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想到常態分配的標準化（Z-score）應用。利用目標合格率（99.9%）查出對應的標準常態分配 Z 值，再透過標準化公式逆推求出新的平均值 μ。
📜 參考法條
Z percentile, lower tail
常態分配參數求解
💡 透過標準化公式與 Z 表反查，逆推常態分配的未知參數。
🔗 常態分配逆推求解流程
- 1 建模與設定 — 確認隨機變數符合常態分配並列出已知參數。
- 2 標準化轉換 — 套用 Z = (X-μ)/σ 將原始區間轉為標準分數。
- 3 查表反求 Z — 依題意機率反查 Z 表，確認臨界值正負符號。
- 4 代數解算 — 解方程式求出未知的平均值（或標準差）。
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🔄 延伸學習：延伸學習：掌握 Z 值表不同呈現方式（累積機率與單尾面積）的對應關係。
