高考申論題 106年 [統計] 統計實務(以實例命題)

第二題

📖 題組：
某飲料公司的自動裝填系統裝罐的容量為常態分布，平均值 367 ml，標準差 3 ml。標準為容量至少要 355 ml 才是合格。

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (二)

如果標準差調到 1.5 ml，平均值要調到多少，合格率才會達到 99.9%？（15 分）

本題屬於常態分配機率反推問題。解題關鍵在於利用標準化公式 $Z = (X - \mu) / \sigma$，根據給定的合格率 99.9%（對應的右尾面積），反查標準常態分配表得出臨界 $Z$ 值，再代入已知標準差解出新的平均值。

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【解題關鍵】利用常態分配的標準化公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，配合標準常態分配表（反查機率）求出未知的平均值 $\mu$。【解答】計算：

如果標準差不變，平均值要調到多少，合格率才會達到 99.9%？（10 分）

看到此題，應立即聯想到常態分配的標準化（Z-score）應用。利用目標合格率（99.9%）查出對應的標準常態分配 Z 值，再透過標準化公式逆推求出新的平均值 μ。

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【解題關鍵】利用常態分配的標準化公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ 以及標準常態機率分配表進行逆推。【解答】計算：

Z percentile, lower tail

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