高考申論題
106年
[經建行政] 統計學
第 三 題
📖 題組：
你需要付出 10 元才能加入投擲一個六面均勻骰子的遊戲。如果骰子出現 2、4、5 及 6 朝上，你會損失所付出的那 10 元；如果骰子出現 3，可拿回所付出的那 10 元；如果骰子出現 1，則除了拿回所付出的那 10 元外，還可多得到 20 元。試問：
你需要付出 10 元才能加入投擲一個六面均勻骰子的遊戲。如果骰子出現 2、4、5 及 6 朝上，你會損失所付出的那 10 元；如果骰子出現 3，可拿回所付出的那 10 元；如果骰子出現 1，則除了拿回所付出的那 10 元外，還可多得到 20 元。試問：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
如果你玩此遊戲 100 次，平均收益少於多少以下的機率為 95%？（10 分）
思路引導 VIP
本題核心在於求出單次淨收益的期望值與變異數，並結合大樣本的抽樣分配特性進行推論。看到「玩100次」與求「平均收益的機率」，考生應立即聯想到利用「中央極限定理 (CLT)」將樣本平均數近似為常態分配，接著透過標準化與查表求出臨界值。
小題 (一)
此遊戲玩 1 次的收益之期望值及標準差為何？（5 分）
思路引導 VIP
首先明確定義隨機變數為『淨收益』，並依據題意建構離散型隨機變數的機率分配表。接著代入期望值 $E(X)=\sum xP(x)$ 與變異數 $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ 的公式進行代數運算，最後將變異數開平方根即可求得標準差。
小題 (二)
此遊戲玩 100 次的平均收益之期望值及標準差為何？（5 分）
思路引導 VIP
面對此類題目，首要步驟是定義「單次遊戲淨收益」的隨機變數，並列出其機率分配以求得母體期望值與變異數。接著，必須標明「各次投擲互相獨立」的前提，運用期望值算符的線性性質及變異數公式，推導出「樣本平均數（平均收益）」的分配特徵。
📜 參考法條
附表：t 分配右尾百分點 t_α(df)
中央極限定理應用
💡 利用樣本平均數的抽樣分配近似常態分配進行機率推論。
🔗 統計推論解題三部曲
- 1 參數計算 — 計算單次遊戲的期望值 $\mu$ 與變異數 $\sigma^2$
- 2 分配判定 — 因 $n=100 \ge 30$，由 CLT 知 $\bar{X}$ 服從常態分配
- 3 標準化 — 計算標準誤並將 $\bar{X}$ 轉換為 $Z$ 分數
- 4 查表求解 — 對應 $P(Z \le z) = 0.95$ 求出臨界值 $c$
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🔄 延伸學習：延伸學習：若樣本數過小且母體不為常態，則不可直接套用此流程。
