高考申論題 110年 [交通技術] 統計學

第一題

📖 題組：
蒐集某都市每天之交通事故次數，發現去年平均每天發生 100 件交通事故，標準差 12 件。

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

若隨機抽取 4 天之交通事故次數，試求此 4 天之平均交通事故次數高於 112 件之機率。（8 分）

本題考查「樣本平均數的抽樣分配」。遇到此題應先注意到樣本數較小（n=4），必須明確寫出「假設母體服從常態分配」及「樣本獨立」的前提。接著運用期望值與變異數的線性運算性質求出樣本平均數的期望值與標準誤，最後透過標準化轉換為 Z 分數查表求得機率。

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【解題思路】利用樣本平均數的抽樣分配性質，在聲明母體為常態與樣本獨立的假設下，藉由期望值與變異數算符推導標準誤，並將樣本平均數標準化為 Z 分數求解。【詳解】已知：

假設今年每天之交通事故次數服從常態分配，且標準差與去年相同。為檢定今年之平均交通事故次數是否比去年高，甲生主張於今年隨機抽取 36 天，若其平均次數高於 102 件時，就認為今年事故次數比去年高。試寫出虛無假設與對立假設，並計算甲生檢定方法對應之型 I 誤差。（8 分）

本題測驗單母體常態分配平均數的右尾檢定與型I誤差計算。解題時需先明確定義母體參數，寫出單尾假設，接著利用樣本平均數的抽樣分配，將臨界值轉換為標準常態機率以求出型I誤差。

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【解題關鍵】利用單母體常態分配之樣本平均數抽樣分配性質，建立右尾假設檢定並計算型I誤差（$\alpha$）。【解答】已知：

承(二)。若由 36 天資料得出樣本和為 Σx_i=3,672，樣本平方和為 Σx_i^2=379,044，試求其今年交通事故平均數μ之 99%信賴區間。（9 分）

考生看到此題應先注意到給定了樣本數、樣本和與樣本平方和，這是標準的提示，必須先計算出樣本平均數（x̄）及不偏樣本變異數（s²）。接著判斷樣本數 n=36 ≥ 30 屬於大樣本，可依據中央極限定理（CLT）以標準常態分配（Z分配）來建構母體平均數的信賴區間。

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【解題思路】利用大樣本性質與中央極限定理，由題目給定的樣本資料計算出樣本平均數及不偏樣本變異數，再代入母體平均數的大樣本信賴區間公式進行推導。【詳解】已知：

附表 Z 分配表附表 t 分配表附表 F 分配表