高考申論題
106年
[醫學工程] 生物輸送原理
第 二 題
📖 題組：
Murray 於 1926 年曾對血管提出一 cost function，如下所示： cost function= (8μL / πa^4) Q^2 + Kπa^2 L 對一管長 L，流量 Q 的血管而言，存在ㄧ最適當管徑 R。請推導出：
Murray 於 1926 年曾對血管提出一 cost function，如下所示： cost function= (8μL / πa^4) Q^2 + Kπa^2 L 對一管長 L，流量 Q 的血管而言，存在ㄧ最適當管徑 R。請推導出：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
在此狀態下的 cost function 為何？（5 分）
思路引導 VIP
本題考查 Murray's law（莫瑞定律）的核心推導。看到求「最適當管徑」與對應的 cost function，應直覺想到利用微積分求極值：將 cost function 對管徑 a 進行一階微分並令其為零。求得極值條件後，找出黏滯耗散項與組織代謝項的比例關係，再代回原式即可優雅地化簡出答案。
小題 (一)
最適當管徑 R 與流量 Q 的關係式。（10 分）
思路引導 VIP
看到求「最適當」管徑，應立刻聯想到尋找函數極值的數學方法。將題目給定的 Murray's cost function 對管徑 a 進行一階微分並令其為零（dE/da = 0），即可求出使總能量消耗（包含血流阻力做功與基礎代謝消耗）最小的最優化管徑與流量 Q 的關係。
Murray定律與最佳管徑
💡 應用微積分極值原理，平衡流動阻力與代謝成本之最適管徑推導。
🔗 Murray 最佳管徑推導邏輯
- 1 設定成本函數 — 列出流阻功與代謝功之和的數學式
- 2 一階微分求極值 — 對管徑 a 微分並令其為 0，求出 R 的條件
- 3 建立項間關係 — 得知流阻功 = 1/2 代謝功 (KπR²L)
- 4 求得最小總成本 — 將項間關係代回原式，得出 3/2 KπR²L
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🔄 延伸學習：延伸學習：此模型可用於預測生物血管系統的分支角度與直徑比例。
