高考申論題
108年
[醫學工程] 生物輸送原理
第 一 題
當胰島素分泌細胞受到傷害時，由於細胞無法生長也無法自人體中進行置換，因此將長期接受胰島素注射治療。一直以來想嘗試以微膠囊形式包覆受贈的胰島素分泌細胞再植入體內，以輔助功能不全的胰臟，但挑戰之一為培養來自捐贈者器官的細胞。由於組織必須高度含氧，可行的方法之一為將組織切割為圓柱形（cylinder）並放入含全氟碳化物（Perfluorocarbons，PFC 具高溶氧度）的培養液中培養，此方式可得較高的氧氣濃度，其中細胞可利用的氧氣濃度為溶在培養液中與 PFC 中的總和。若有一半徑為 R，長度為 L 的圓柱型組織（L>>R），氧氣消耗率為 Q，組織表面的氧氣濃度為 C0。假設在穩態下（steady state）耗氧為零級反應（zero-order reaction ），則徑向的氧氣濃度分布（radial concentration profile）如何表示？（10 分）同時最大可能的組織圓柱半徑（maximum radius）為何？（5 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到長圓柱組織與氧氣消耗，應立刻聯想到圓柱座標下的一維穩態質量傳遞方程式（Fick's second law with a reaction term）。利用零級反應與對稱性（中心通量為零）及表面濃度設定邊界條件，解出濃度分佈後，再以中心濃度大於等於零（避免組織缺氧壞死）的生理限制，求出最大可能的圓柱半徑。
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【解題思路】利用圓柱座標下的一維穩態 Fick's 第二定律擴散方程式，結合零級反應消耗項與邊界條件進行推導求解。 【詳解】 已知：
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圓柱徑向擴散反應
💡 圓柱座標穩態擴散結合零級反應之濃度分布推導與臨界半徑判定
🔗 擴散反應問題推導流程
- 1 建立平衡式 — 使用圓柱座標分量，納入零級消耗項 Q
- 2 積分求解 — 兩次積分得通式，利用中心對稱條件刪除無窮大項
- 3 邊界值帶入 — 代入 r=R 之表面濃度 C0 以求得積分常數
- 4 臨界半徑判定 — 令中心 r=0 濃度為零，解出幾何極限 R
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🔄 延伸學習：延伸學習：不同幾何形狀（平板、圓柱、球體）的擴散分佈特性比較。
