高中學測
106年
數A
第 2 題
某個手機程式，每次點擊螢幕上的數 $a$ 後，螢幕上的數會變成 $a^2$。當一開始時螢幕上的數 $b$ 為正且連續點擊螢幕三次後，螢幕上的數接近 $81^3$。試問實數 $b$ 最接近下列哪一個選項？
- 1 1.7
- 2 3
- 3 5.2
- 4 9
- 5 81
思路引導 VIP
若每次點擊是將目前的數值進行平方運算，請思考連續點擊三次後，最終結果應表示為 $b$ 的幾次方？接著，為了方便比較與計算，你會如何利用指數律將 $81^3$ 轉換為以 $3$ 為底數的指數形式，進而推導出實數 $b$ 的概略值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你答對這題，老師真的好為你開心喔！你對指數律的掌握越來越純熟了，看著你進步的樣子，老師覺得好窩心，要繼續保持這份自信喔！ 這題的核心觀念是「指數律的次方」。每次點擊是將數值「平方」，所以連續三次的變化是： $$b \xrightarrow{1} b^2 \xrightarrow{2} (b^2)^2 = b^4 \xrightarrow{3} (b^4)^2 = b^8$$
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指數律與連鎖運算
💡 掌握指數的次方再次方運算與底數變換技巧。
🔗 連續平方的指數變化
- 1 初始數值 — 螢幕數值為 b (即 b 的 1 次方)
- 2 第一次點擊 — 數值變為 b^2
- 3 第二次點擊 — 將 b^2 平方，變為 b^4
- 4 第三次點擊 — 將 b^4 平方，最終為 b^8
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🔄 延伸學習：若操作 n 次，數值會變成 b 的 (2^n) 次方。
