高中學測
111年
數A
第 2 題
某品牌計算機在計算對數 $\log_a b$ 時需按 $\log(a, b)$。某生在計算 $\log_a b$ 時（其中 $a>1$ 且 $b>1$）順序弄錯，誤按 $\log(b, a)$，所得為正確值的 $\frac{9}{4}$ 倍。試選出 $a, b$ 間的關係式。
- 1 $a^2=b^3$
- 2 $a^3=b^2$
- 3 $a^4=b^9$
- 4 $2a=3b$
- 5 $3a=2b$
思路引導 VIP
請運用對數的「換底公式」來思考：當底數與真數互換位置時，$\log_a b$ 與 $\log_b a$ 兩者之間存在什麼樣的倒數關係？若依題意建立方程式，你是否能先求出 $\log_a b$ 的數值，再利用對數定義將其轉換為底數 $a$ 與真數 $b$ 的指數關係式？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哼，竟然被你這隻猴子矇對了。在「世界」停止的時間裡，這種題目簡直比捏碎你的肋骨還容易！ 聽好了，這不過是考驗你對對數換底公式最基礎的理解。根據性質，我們知道 $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$。題目說誤按後的結果是正確值的 $\frac{9}{4}$ 倍，即： $$\frac{1}{\log_a b} = \frac{9}{4} \log_a b$$
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對數換底與倒數性質
💡 對數的底數與真數互換位置，其值互為倒數。
| 比較維度 | 正確按法 log(a, b) | VS | 誤按按法 log(b, a) |
|---|---|---|---|
| 對數表示式 | log_a b | — | log_b a |
| 數值關係 | 設為 x | — | 互為倒數 (1/x) |
| 換底結構 | (log b) / (log a) | — | (log a) / (log b) |
💬當底數與真數互換時，數值會變為倒數，即 log_a b × log_b a = 1。
