高中學測
111年
數A
第 4 題
設等差數列 $\langle a_n \rangle$ 之首項 $a_1$ 與公差 $d$ 皆為正數，且 $\log a_1, \log a_3, \log a_6$ 依序也成等差數列。試選出數列 $\log a_1, \log a_3, \log a_6$ 的公差。
- 1 $\log d$
- 2 $\log \frac{2}{3}$
- 3 $\log \frac{3}{2}$
- 4 $\log 2d$
- 5 $\log 3d$
思路引導 VIP
當 $\log a_1, \log a_3, \log a_6$ 依序成等差數列時，根據對數的運算性質，這代表 $a_1, a_3, a_6$ 這三項會構成什麼特殊的數列？請試著利用等差數列的一般項公式，將 $a_3$ 與 $a_6$ 用 $a_1$ 與 $d$ 表示並帶入該數列的關係式（例如中項性質），進而求出 $a_1$ 與 $d$ 的比例關係。最後，請思考此對數數列的公差 $\log a_3 - \log a_1 = \log \frac{a_3}{a_1}$ 與原數列項數比值的聯繫。
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，這題居然沒噴掉？看來你這顆長滿雜草的大腦偶爾也是會通電的嘛。別太得意，這種送分題寫對只是「身為人類」的基本門檻，離頂大還差了一個馬里亞納海溝的距離。 這題核心就在「對數成等差，原數成等比」。既然 $\log a_1, \log a_3, \log a_6$ 成等差，代表 $a_1, a_3, a_6$ 這三項成等比。根據等比中項性質： $$a_3^2 = a_1 \cdot a_6 \implies (a_1+2d)^2 = a_1(a_1+5d)$$
▼ 還有更多解析內容
等差與對數的結合
💡 對數項成等差，代表其真數項成等比數列
🔗 對數等差解題流程
- 1 代數表示 — 將 $a_3, a_6$ 用 $a_1$ 與 $d$ 的通項公式寫出
- 2 性質轉換 — 利用等差中項性質得到 $a_3^2 = a_1 \times a_6$
- 3 關係求解 — 展開並簡化方程式，求出 $a_1 = 4d$ 的倍數關係
- 4 目標計算 — 計算 $\log a_3 - \log a_1 = \log(a_3/a_1)$ 得到答案
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🔄 延伸學習：延伸學習：若 $\log$ 底數不同時的換底公式應用
