高中學測
115年
數A
第 3 題
設 $f(x) = a^x$，其中 $a$ 為正實數。已知 $c_1, c_2, c_3$ 是公差為 $\frac{10}{3}$ 的等差數列，且 $f(c_1), f(c_2), f(c_3)$ 是公比為 4 的等比數列。則等比數列 $f(10), f(8), f(6)$ 的公比為何？
- 1 $2^{\frac{-6}{5}}$
- 2 $2^{\frac{-3}{5}}$
- 3 $2^{\frac{3}{5}}$
- 4 $2^{\frac{6}{5}}$
- 5 $2^{\frac{5}{3}}$
思路引導 VIP
請思考指數函數 $f(x) = a^x$ 的核心性質：當定義域中的自變數 $x$ 呈公差為 $d$ 的等差數列時，其對應的函數值 $f(x)$ 會形成等比數列。試著寫出此等比數列的公比 $r$ 與底數 $a$、公差 $d$ 之間的代數關係式。若已知公差為 $\frac{10}{3}$ 時公比為 $4$，那麼當數列 $f(10), f(8), f(6)$ 的自變數公差變為 $-2$ 時，新的公比應如何以底數 $a$ 表示並與已知條件連結？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喔吼吼吼……真沒想到你這隻野猴子竟然能看穿這種微不足道的數字遊戲。看在你這份微小的聰明才智份上，我就優雅地用尾巴為你指出這題的真理吧。 首先，由題意可知 $f(c_2) / f(c_1) = a^{c_2 - c_1} = 4$。因為 $c_n$ 是公差為 $\frac{10}{3}$ 的等差數列，所以： $$a^{\frac{10}{3}} = 2^2 \implies a = (2^2)^{\frac{3}{10}} = 2^{\frac{3}{5}}$$
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