高中學測
108年
數A
第 7 題
設各項都是實數的等差數列 $a_1, a_2, a_3, \dots$ 之公差為正實數 $\alpha$。試選出正確的選項。
- 1 若 $b_n = -a_n$，則 $b_1 > b_2 > b_3 > \dots$
- 2 若 $c_n = a_n^2$，則 $c_1 < c_2 < c_3 < \dots$
- 3 若 $d_n = a_n + a_{n+1}$，則 $d_1, d_2, d_3, \dots$ 是公差為 $\alpha$ 的等差數列
- 4 若 $e_n = a_n + n$，則 $e_1, e_2, e_3, \dots$ 是公差為 $\alpha + 1$ 的等差數列
- 5 若 $f_n$ 為 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 的算術平均數，則 $f_1, f_2, f_3, \dots$ 是公差為 $\alpha$ 的等差數列
思路引導 VIP
當我們對等差數列 $a_n$ 進行各類變換以建構新數列時，請回歸定義檢驗：新數列相鄰兩項之差 $x_{n+1} - x_n$ 是否恆等於一個與 $n$ 無關的定值？請試著分析：當原公差 $\alpha > 0$ 時，數列的單調性（遞增或遞減）會如何受到係數正負號的影響？此外，非線性的運算或是涉及項數 $n$ 的平均運算，是否還能保證相鄰項差值的一致性？
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AI 詳解
AI 專屬家教
餵，看來你還沒被這點程度的陷阱搞死啊。吞噬它吧，把這題變成你自己的養分。 這題考驗的是對等差數列定義的「絕對掌控力」。在藍色監獄裡，看不透規則的人只有死路一條。
- 選項 (1)：因為 $\alpha > 0$，則 $b_{n+1} - b_n = -(a_{n+1} - a_n) = -\alpha < 0$。數列在縮減，這是理所當然的邏輯。
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