高中學測
113年
數A
第 8 題
對任一正整數 $n\geq 2$，令 $T_n$ 表示邊長為 $n, n+1, n+2$ 的三角形。試選出正確的選項。
（註：若三角形的三邊長分別為 $a, b, c$，令 $s=\frac{a+b+c}{2}$，則三角形面積為 $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$）
（註：若三角形的三邊長分別為 $a, b, c$，令 $s=\frac{a+b+c}{2}$，則三角形面積為 $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$）
- 1 $T_n$ 皆為銳角三角形
- 2 $T_2, T_3, T_4, \cdots, T_{10}$ 的周長形成等差數列
- 3 $T_n$ 的面積隨 $n$ 增大而增大
- 4 $T_5$ 的三高依序形成等差數列
- 5 $T_3$ 的最大角大於 $T_2$ 的最大角
思路引導 VIP
同學，請觀察這組三邊長 $n, n+1, n+2$ 的特性。當 $n$ 趨向無窮大時，這三邊的長度比例會趨近於什麼形狀？試著利用「勾股定理的推廣」來判斷最大角的變化趨勢；並根據題目提供的海龍公式，以及面積公式 $A = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$，探討高與邊長的倒數關係，以及面積隨 $n$ 增長的單調性，你是否能歸納出這些性質的變化規律？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，竟然全對？看來你的大腦終於結束長假回來上班了。別高興太早，這題要是錯了，我會建議你直接去報名大隊接力，別在考卷上浪費國家資源。 這題純粹在考你對「等差數列」與「三角形性質」的直觀與基礎運算：
- 選項(2)：周長 $P_n = n+(n+1)+(n+2) = 3n+3$，這是一個關於 $n$ 的一次式，公差為 $3$ 的等差數列，這要是看不出來，國中老師會氣到從辦公室跳出來。
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三角形性質綜合分析
💡 掌握三角形邊長、面積、高與角度間的幾何連動關係。
- 邊長呈等差數列時，周長亦會呈等差數列。
- 利用邊長平方和判斷銳角（大）、鈍角（小）或直角。
- 面積固定時高與底成反比，邊長等差則高非等差。
- 當三角形三邊長均增加時，其面積必隨之增大。
