高中學測
115年
數A
第 15 題
已知三正數 $a, b, c$ 成一等差數列，其中 $a < b < c$，且坐標平面上三點 $(a, \log 3a)$、$(b, \log 4b)$、$(c, \log 6c)$ 在同一直線上，則 $\frac{b}{a}$ 之值為______。（化為最簡分數）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
既然 $a, b, c$ 成等差數列，代表相鄰兩點的橫坐標位移 $b-a$ 與 $c-b$ 相等，那麼根據「共線」的斜率性質，縱坐標的位移 $\log 4b - \log 3a$ 與 $\log 6c - \log 4b$ 必須具備什麼關係？請嘗試利用對數律 $\log M - \log N = \log \frac{M}{N}$ 將其轉換為 $a, b, c$ 的代數式，並結合等差中項 $2b = a+c$ 來求解。
等差數列與三點共線
💡 利用等差中項與斜率定義，結合對數運算律求解未知數。
🔗 共線等差問題解題流程
- 1 幾何轉換 — 利用三點共線且橫坐標等差，推導出縱坐標亦成等差。
- 2 對數化簡 — 將 log 相減轉為真數相除，建立比例式。
- 3 代數運算 — 代入等差中項關係，化為一元二次方程式。
- 4 條件篩選 — 解出兩根後，依據 a < b < c 條件選取正解。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若點在指數函數圖形上且共線，則縱坐標會與橫坐標有何種關係？
