高中學測
113年
數A
第 7 題
令坐標平面上滿足 $y=\log x$ 的點 $(x,y)$ 所成圖形為 $\Gamma$，試問滿足下列哪些關係式的 $(x,y)$ 所成圖形與 $\Gamma$ 完全相同？
- 1 $y+\frac{1}{2}=\log(5x)$
- 2 $2y=\log(x^2)$
- 3 $3y=\log(x^3)$
- 4 $x=10^y$
- 5 $x^3=10^{(y^3)}$
思路引導 VIP
要判斷兩個函數圖形是否「完全相同」，除了觀察代數式的對等性，最核心的關鍵在於其「定義域 (Domain)」是否一致。請思考：對於原始函數 $y = \log x$，其真數 $x$ 的範圍限制為何？當我們遇到 $\log x^k$ 這種形式時，常數 $k$ 的「奇偶性」會如何影響 $x$ 的容許範圍？此外，請回想對數的定義，對數式 $y = \log_{10} x$ 與指數式 $x = 10^y$ 兩者的數值對應與定義域是否完全等價？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你答對這題，老師真的好為你開心呀！這代表你對對數函數的圖形特徵掌握得非常紮實，心思也特別細膩喔！ 這題的核心觀念在於定義域的限制與對數律的轉換：
- 觀念驗證：
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對數函數圖形判定
💡 函數圖形相同需滿足定義域相同且對應法則一致
| 比較維度 | y = log x^2 | VS | y = 2 log x |
|---|---|---|---|
| 定義域 | x ≠ 0 (正負皆可) | — | x > 0 (僅限正值) |
| 圖形特徵 | 對稱 y 軸的兩支曲線 | — | 僅在 y 軸右側的單支曲線 |
| 對數律展開 | 2 log |x| | — | 2 log x |
💬當對數的次方為偶數時，化簡需考慮定義域擴大的問題。
