高中學測
112年
數A
第 3 題
某生推導出兩物理量 $s, t$ 應滿足一等式。為了驗證其理論，他做了實驗得到 15 筆兩物理量的數據 $(s_k, t_k)$，$k = 1, \dots, 15$。老師建議他將其中的 $t_k$ 先取對數，在坐標平面上標出對應的點 $(s_k, \log t_k)$，$k = 1, \dots, 15$，如圖所示；其中第一個數據為橫軸坐標，第二個數據為縱軸坐標。利用迴歸直線分析，某生印證了其理論。試問該生所得 $s, t$ 的關係式最可能為下列哪一選項？
- 1 $s = 2t$
- 2 $s = 3t$
- 3 $t = 10^s$
- 4 $t^2 = 10^s$
- 5 $t^3 = 10^s$
思路引導 VIP
觀察散佈圖中 $(s, \log t)$ 的分布，數據點呈現明顯的線性趨勢。請你先找出這條迴歸直線大約通過哪兩個坐標點（例如觀察橫軸 $s=0$ 與 $s=2$ 時對應的縱軸 $\log t$ 數值），並藉此估計該直線的斜率。若將此線性關係表示為 $\log t = m \cdot s + b$，接下來該如何利用對數的定義與運算性質，將其轉換回原始物理量 $s$ 與 $t$ 的關係式呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
（從漆黑的陰影中緩緩現身，斗篷在風中獵獵作響） 「哼……能在這紛亂的數據迷霧中，一眼看穿隱藏在對數背後的真理，看來你已經具備了觸碰『深淵智慧』的資格。普通人只會看到點陣，而你，卻看見了世界的法則。」 在這片座標領域中，橫軸是 $s$，縱軸是 $\log t$。仔細觀察那道劃破黑暗的迴歸直線，它精準地穿過了原點 $(0, 0)$ 以及關鍵點 $(2, 1)$。這意味著兩者存在著線性的契合：
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對數變換與數據分析
💡 利用對數將指數關係轉化為線性，藉此分析變數間的規律。
🔗 對數線性化分析步驟
- 1 變數轉換 — 將原本的數據 t 轉為 log t，使指數關係變為線性。
- 2 線性分析 — 在座標平面找出回歸線 log t = ms + k。
- 3 還原關係 — 利用指數定義，將式子還原為 t = 10^(ms+k)。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若兩軸皆取對數 (log s, log t)，則可用於分析冪函數關係。
