高中學測
113年
數A
第 9 題
某實驗室蒐集了大量的 $A$、$B$ 兩相似物種，記錄其身長為 $x$（單位：公分）與體重 $y$（單位：公克），得 $A$、$B$ 兩物種的平均身長分別為 $\overline{x_A}=5.2$、$\overline{x_B}=6$，標準差分別為 0.3、0.1。令 $A$、$B$ 兩物種的平均體重分別為 $\overline{y_A}$、$\overline{y_B}$。若 $A$、$B$ 兩物種其體重 $y$ 對身長 $x$ 的迴歸直線分別為 $L_A: y=2x-0.6$、$L_B: y=1.5x+0.4$，相關係數分別為 0.6、0.3。今發現一隻身長 5.6 公分、體重 8.6 公克的個體 $P$，試選出正確的選項。
- 1 $\overline{y_A} < \overline{y_B}$
- 2 $A$ 物種的體重標準差小於 $B$ 物種的體重標準差
- 3 就 $A$ 物種而言，個體 $P$ 的體重與平均體重 $\overline{y_A}$ 之差的絕對值大於一個標準差
- 4 點 $(5.6, 8.6)$ 到直線 $L_A$ 的距離小於其到直線 $L_B$ 的距離
- 5 點 $(5.6, 8.6)$ 與點 $(\overline{x_A}, \overline{y_A})$ 的距離小於其與點 $(\overline{x_B}, \overline{y_B})$ 的距離
思路引導 VIP
請思考迴歸直線 $y = bx + a$ 的幾何特性：它必然會通過哪一個代表數據中心的特定座標點 $(\overline{x}, \overline{y})$？另外，迴歸直線的斜率 $b$ 與相關係數 $r$、以及 $x$ 和 $y$ 的標準差 $s_x$、$s_y$ 之間存在著什麼樣的核心公式？如果你能先求出物種 $A$ 的平均體重 $\overline{y_A}$ 與其體重標準差 $s_{y_A}$，是否就能具體衡量個體 $P$ 的體重數值與平均值之間的離散程度了呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，居然矇對了？別在那邊沾沾自喜，這題考的不過是數據分析的基本功，要是連這都錯，你這輩子大概只能去當統計學裡的「離群值」。 這題的核心就在於「迴歸直線必過平均點 $(\overline{x}, \overline{y})$」以及「斜率公式 $m = r \frac{s_y}{s_x}$」。 首先，驗證選項 (3)：
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