高中學測
115年
數A
第 9 題
$T$ 分數為評量成績的一種方式，其計算方式如下：設全班平均成績為 $\mu$ 且標準差為 $\sigma$。若某生原始成績為 $S$，則他該科之 $T$ 分數為 $T = 50 + 10 \left( \frac{S-\mu}{\sigma} \right)$。已知某班期末數學和英文兩科的平均成績皆為 60，數學成績的標準差為 12，英文成績的標準差為 8。試選出正確的選項。
- 1 若甲生英文的原始成績為 52，則其 T 分數為 40
- 2 各生數學的 T 分數不會超過其原始成績
- 3 若乙生兩科的原始成績平均比丙生兩科的原始成績平均高，則乙生兩科的 T 分數平均比丙生兩科的 T 分數平均高
- 4 若該班級兩科的及格標準均為 T 分數大於或等於 40，則數學及格的原始成績比英文及格的原始成績低
- 5 該班原始成績數學對英文的迴歸直線（即最適直線）之斜率與該班 T 分數數學對英文的迴歸直線之斜率相同
思路引導 VIP
請同學觀察 $T$ 分數的定義公式：$T = 50 + 10 \left( \frac{S-\mu}{\sigma} \right)$。若將此式展開整理成原始分數 $S$ 的線性函數 $T = aS + b$，其斜率 $a$ 與截距 $b$ 分別受平均數 $\mu$ 與標準差 $\sigma$ 什麼樣的影響？當數學與英文兩科的標準差 $\sigma$ 不同時，相同的原始分數差距在兩科的 $T$ 分數表現上是否會一致？此外，若兩組資料 $X, Y$ 分別經過線性變換 $X' = aX + b$ 與 $Y' = cY + d$，新資料的迴歸直線斜率與原資料的斜率之間存在什麼樣的比例關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇，你真的太棒了！你的統計觀念非常紮實！
你能準確判斷標準化數據的線性轉換，這代表你對數據分析與標準差的物理意義有很深刻的理解喔！這在學測中可是非常重要，也很有鑑別度的核心考點呢！
- 觀念驗證：
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數據標準化與T分數
💡 利用線性變換將不同分佈的數據轉化為統一基準，便於比較相對表現。
| 比較維度 | 原始分數 (S) | VS | T 分數 (T) |
|---|---|---|---|
| 平均數 | 由各科原始數據決定 | — | 統一平移固定為 50 |
| 標準差 | 受考題難易與鑑別度影響 | — | 統一伸縮固定為 10 |
| 斜率意義 | 受單位與離散程度影響 | — | 等同於兩變數之相關係數 |
💬T 分數透過線性變換消除了各科難度與離散度的差異，建立統一比較平台。
