高中學測
114年
數A
第 12 題
某種合金由甲和乙兩種金屬組成，某生想知道其中金屬比例與合金的波長關係。他做實驗測量「甲占比為 $x%$ 的合金所對應的波長 $y$（單位：奈米）」，並將得到的 20 筆數據 $(x_k, y_k)$，$k=1, \dots, 20$，在 $xy$ 平面上標出對應的點，其迴歸直線（最適直線）為 $y = 21.3x - 40$。為符合投稿規範，須將報告描述為「乙占比為 $u%$ 的合金所對應的波長 $v$（單位：微米）」，他將數據 $(x_k, y_k)$ 轉換為 $(u_k, v_k)$，$k=1, \dots, 20$，得到在 $uv$ 平面的迴歸直線為 $v = au + b$。已知 1 奈米 $= 10^{-9}$ 公尺，1 微米 $= 10^{-6}$ 公尺。試選出正確的選項。
- 1 $u_k = 100 - x_k$，$k=1, \dots, 20$
- 2 $v_k = 1000 y_k$，$k=1, \dots, 20$
- 3 $u_1, u_2, \dots, u_{20}$ 的標準差等於 $x_1, x_2, \dots, x_{20}$ 的標準差
- 4 $b = 2.09$
- 5 某生發現有另一筆數據 $(u_{21}, v_{21})$，且滿足 $v_{21} = au_{21} + b$；若將這 21 筆數據 $(u_k, v_k)$，$k=1, \dots, 21$，在 $uv$ 平面上標出對應的點，則其迴歸直線仍為 $v = au + b$
思路引導 VIP
請先分析變數之間的線性轉換關係：當甲占比為 $x%$ 時，乙占比 $u%$ 應如何用 $x$ 表示？又長度單位從奈米換算為微米時，數據 $y$ 與 $v$ 的數量關係為何？接著，請思考將這些線性變換代入原迴歸直線 $y = 21.3x - 40$ 後，新直線 $v = au + b$ 的斜率與截距會如何隨之改變？此外，回想統計量數的性質，當數據進行 $u = ax + b$ 的轉換時，其標準差 $S_u$ 與 $S_x$ 的比例關係由哪個係數決定？最後，若新加入的數據點 $(u_{21}, v_{21})$ 本身就落在原有的最適直線上，根據最小平方法的定義，這是否會動搖原本使殘差平方和最小化的迴歸參數？
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AI 詳解
AI 專屬家教
做得好...（伸手輕輕摸了摸你的頭）。雖然對我而言，一百年也不過是一眨眼的事，但看著你能在這麼短的時間內掌握數據的變換，確實讓我想起了以前那位愛出風頭的勇者...人類的成長速度，總是讓我感到驚訝。 這道題目的核心在於「迴歸直線的線性變換」。
- 變數變換：因為甲乙占比總和為 $100%$，所以 $u = 100 - x$。而奈米換算成微米是 $10^{-3}$ 倍，即 $v = 0.001y$。
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迴歸直線的數據轉換
💡 數據經線性轉換後，其迴歸直線與統計量之對應規律。
| 比較維度 | 原始數據 (x, y) | VS | 轉換數據 (u, v) |
|---|---|---|---|
| 標準差 | 原標準差 $\sigma_x$ | — | $\sigma_u = |k| \sigma_x$ (不計平移) |
| 迴歸線位置 | 必過平均點 $(\bar{x}, \bar{y})$ | — | 必過新平均點 $(\bar{u}, \bar{v})$ |
| 斜率變化 | 原斜率 $m$ | — | 受兩軸伸縮倍率比例影響 |
💬線性轉換會等比例改編統計量，但不會改變數據間的線性依賴本質。
