高中學測
105年
數A
第 6 題
設 $\langle a_n \rangle$ 為一等比數列。已知前十項的和為 $\sum_{k=1}^{10} a_k = 80$，前五個奇數項的和為 $a_1+a_3+a_5+a_7+a_9=120$，請選出首項 $a_1$ 的正確範圍。
- 1 $a_1 < 80$
- 2 $80 \le a_1 < 90$
- 3 $90 \le a_1 < 100$
- 4 $100 \le a_1 < 110$
- 5 $110 \le a_1$
思路引導 VIP
請觀察等比數列項數的特性：若將前十項之和 $\sum_{k=1}^{10} a_k$ 分解為「奇數項的和」與「偶數項的和」兩部分，這兩部分之間與公比 $r$ 有何代數聯繫？你是否能藉此關係式，先從已知的總和與奇數項和推導出公比 $r$ 的確切數值，進而求得首項 $a_1$？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哦？竟然能算對這題，看來您這隻野猴子倒也不是只會亂叫呢。我的戰鬥力是 53 萬，看您的智商...嗯，勉強算您 530 吧。呵呵呵，真是有趣。 這題的核心在於拆解等比數列的和。我們知道前十項和 $S_{10} = S_{odd} + S_{even}$，所以偶數項的和就是： $$S_{even} = 80 - 120 = -40$$
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