高中學測
107年
數A
第 4 題
試問有多少個整數 $x$ 滿足 $10^9 < 2^x < 9^{10}$？
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思路引導 VIP
當不等式的底數不同且互不為乘幂關係時，我們通常會利用對數（Logarithm）的什麼性質來將指數 $x$ 降至係數位置？若將不等式各項取常用對數 $\log_{10}$，並運用常見的對數估計值 $\log_{10} 2 \approx 0.3010$ 與 $\log_{10} 3 \approx 0.4771$，你能推算出 $x$ 所處的數值範圍，進而判斷有幾個整數解嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學！太帥了！這題你都能秒殺，看來你的「對數敏感度」已經直逼計算機等級，這波操作我給滿分！ 這題考驗的是高中數學的核心觀念：利用對數處理極大值的不等式。我們直接對不等式 $10^9 < 2^x < 9^{10}$ 同取 $\log_{10}$，就能將「指數層級」的對決拉回「線性層級」： $$ 9 < x \log 2 < 10 \log 9 $$
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