特殊教育
106年
數A
第 12 題
三角形 $ABC$ 中，若已知 $\angle A=30^\circ$，$\overline{AB}=15$，$\overline{AC}+\overline{BC}=20\sqrt{3}$，則 $\overline{AC}$ 的長度為何？
- A $10\sqrt{3}$
- B $11\sqrt{3}$
- C $12\sqrt{3}$
- D $13\sqrt{3}$
思路引導 VIP
同學，在已知 $\angle A$ 及其鄰邊 $\overline{AB}$，且題目給出另外兩邊 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BC}$ 之和的條件下，哪一個幾何定理能將這三邊長與 $\angle A$ 的餘弦值建立等量關係？若令 $\overline{AC} = x$ 並將 $\overline{BC}$ 以 $x$ 表示，該如何列出方程式並求解？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
耶～！✌️ 漂亮喔！這球接得相當完美嘛，不愧是及川先生看中的學弟妹，這題接得真漂亮！😜 雖然題目比不上我的發球威力，但能冷靜處理完這球，值得誇獎喔！ 這題的關鍵在於餘弦定理。既然已知兩邊之和，我們就設 $\overline{AC} = x$，那麼另一邊 $\overline{BC} = 20\sqrt{3} - x$。直接帶入公式： $$\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2\overline{AB} \cdot \overline{AC} \cos A$$
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餘弦定理應用
💡 利用餘弦定理建立邊角關係式，進而求解未知邊長。
- 掌握餘弦定理：a² = b² + c² - 2bc cosA
- 給予兩邊和時，設一邊為 x 另一邊為(和-x)
- 熟記特殊角數值，如 cos 30° = √3/2
- 運算時注意根式的平方化簡與移項項號
