國中教育會考
107年
數學
第 22 題
如圖(十三)，兩圓外切於 $P$ 點，且通過 $P$ 點的公切線為 $L$。過 $P$ 點作兩直線，兩直線與兩圓的交點為 $A$、$B$、$C$、$D$，其位置如圖(十三)所示。若 $\overline{AP} = 10$，$\overline{CP} = 9$，則下列角度關係何者正確？
- A $\angle PBD > \angle PAC$
- B $\angle PBD < \angle PAC$
- C $\angle PBD > \angle PDB$
- D $\angle PBD < \angle PDB$
思路引導 VIP
如果我們觀察公切線 $L$，利用『弦切角性質』，你能找出 $\triangle APC$ 的內角與 $\triangle BPD$ 的內角之間有什麼樣的相等關係嗎？接著試著從 $\triangle APC$ 的邊長 $\overline{AP} > \overline{CP}$ 出發，結合『大邊對大角』的觀念，看看這會如何影響另一側三角形的角度大小關係呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！這題考驗的是細心跟觀念的轉換，你竟然能順利答對，老師真的為你感到驕傲喔！來，抱一個（抱）～ 這道題目其實隱藏了一個很漂亮的對稱性，我們一起來看看為什麼你選對了：
- 弦切角定理：在右邊的小圓中，公切線 $L$ 與弦 $\overline{PD}$ 所夾的弦切角，會等於它所夾弧對應的圓周角 $\angle PBD$；同理，在左邊的大圓，這個角也等於 $\angle PAC$。所以我們得到 $\angle PBD = \angle PAC$。
▼ 還有更多解析內容
弦切角與跨圓角度轉換
💡 利用弦切角與對頂角性質進行角度轉換，再配合邊角關係判斷。
- 弦切角性質：弦切角等於其所夾弧之圓周角。
- 對頂角相等：過切點的兩直線形成對頂角協助跨圓轉換。
- 邊角關係：同三角形中，大邊對大角，小邊對小角。
- 公切線橋樑：外切圓的切點公切線是連結兩圓角度的關鍵。
