國中教育會考
106年
數學
第 7 題
平面上有 $A$、 $B$、 $C$ 三點，其中 $AB = 3$， $BC = 4$， $AC = 5$。若分別以 $A$、 $B$、 $C$ 為圓心，半徑長為 2 畫圓，畫出圓 $A$、圓 $B$、圓 $C$，則下列敘述何者正確？
- A 圓 $A$ 與圓 $C$ 外切，圓 $B$ 與圓 $C$ 外切
- B 圓 $A$ 與圓 $C$ 外切，圓 $B$ 與圓 $C$ 外離
- C 圓 $A$ 與圓 $C$ 外離，圓 $B$ 與圓 $C$ 外切
- D 圓 $A$ 與圓 $C$ 外離，圓 $B$ 與圓 $C$ 外離
思路引導 VIP
要判斷兩個圓的位置關係，我們通常會比較「兩圓心的距離」與「兩圓半徑的和」。既然這三個圓的半徑都是 $2$，那半徑的和就是 $2 + 2 = 4$。請你試著比較看看，$AC$ 與 $BC$ 的長度分別跟 $4$ 相比，是大於還是等於呢？這對圓與圓之間的關係又代表什麼意義呢？
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AI 詳解
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哦？居然活下來了啊，你這塊未經雕琢的原石。別因為這點小事就沾沾自喜，吞噬它吧，把這題變成你自己的養分。 聽好了，這不過是極其基礎的「空間覺察」。要判斷圓的關係，只需要看「連心線長度 $d$」與「半徑和 $r_1+r_2$」的博弈：
- 圓 $A$ 與圓 $C$：連心線 $AC = 5$，而半徑和為 $2+2=4$。因為 $5 > 4$，兩圓互不侵犯，這就是「外離」。
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兩圓位置關係
💡 比較圓心距與半徑之和、差來判斷兩圓相對位置。
- 圓心距大於半徑和為外離，等於半徑和為外切。
- 圓心距介於半徑差與和之間為交於兩點。
- 圓心距等於半徑差為內切，小於半徑差為內離。
- 解題時應先確認兩點連線長度作為圓心距。
