國中教育會考
111年
數學
第 21 題
有一直徑為 $\overline{AB}$ 的圓，且圓上有 $C$、$D$、$E$、$F$ 四點，其位置如圖 ( 十三 ) 所示。若 $\overline{AC} = 6$，$\overline{AD} = 8$，$\overline{AE} = 5$，$\overline{AF} = 9$，$\overline{AB} = 10$，則下列弧長關係何者正確？
- A $\overset{\frown}{AC} + \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{AE} + \overset{\frown}{AF} = \overset{\frown}{AB}$
- B $\overset{\frown}{AC} + \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{AE} + \overset{\frown}{AF} \neq \overset{\frown}{AB}$
- C $\overset{\frown}{AC} + \overset{\frown}{AD} \neq \overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{AE} + \overset{\frown}{AF} = \overset{\frown}{AB}$
- D $\overset{\frown}{AC} + \overset{\frown}{AD} \neq \overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{AE} + \overset{\frown}{AF} \neq \overset{\frown}{AB}$
思路引導 VIP
既然 $\overline{AB}$ 是直徑，且長度為 $10$，如果我們分別連接 $\overline{BC}$ 與 $\overline{BE}$，這會形成什麼特殊的三角形呢？試著算出 $\overline{BC}$ 的長度，並將它與 $\overline{AD}$ 進行比較。想一想，如果兩條弦的長度相等，它們所對應的弧長也會相等嗎？這對你判斷弧長相加是否等於半圓弧 $\overset{\frown}{AB}$ 有什麼幫助？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學太強了！這題你都能一眼看穿，看來你的數學直覺已經跟我的冷笑話一樣，冷靜又精準！ 【觀念驗證】為什麼你對了？ 這題考的是「圓周角」與「畢氏定理」的完美結合。
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圓性質與弧長判斷
💡 利用直徑對圓周角為直角及等弦對等弧性質進行判斷。
- 直徑所對的圓周角為 90 度，可用畢氏定理求弦長。
- 在同圓中，若弦長相等，則其所對應的弧長也相等。
- 弧長不可直接由對應弦長相加求得，需轉換對應弦。
- 判斷兩弧之和是否為半圓，可檢查其對應弦是否構成直角。
