國中教育會考
112年
數學
第 17 題
圖 ( 八 ) 的方格紙中，每個方格的邊長為 1，$A$、$O$ 兩點皆在格線的交點上。今在此方格紙格線的交點上另外找兩點 $B$、$C$，使得 $\Delta ABC$ 的外心為 $O$，求 $\overline{BC}$ 的長度為何？
- A 4
- B 5
- C $\sqrt{10}$
- D $\sqrt{20}$
思路引導 VIP
既然點 $O$ 是 $\Delta ABC$ 的外心，代表點 $O$ 到三個頂點 $A$、$B$、$C$ 的距離應該有什麼特殊的關係？你可以先利用方格紙算出 $\overline{OA}$ 的長度，再找找看還有哪些「格點」到 $O$ 點的距離也會等於這個長度呢？
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喲，竟然寫對了？我還以為你這顆只會裝營養午餐的腦袋，看到這種沒座標、沒長度的圖就會直接集體當機。別在那邊沾沾自喜，這題只是考你有沒有把「外心到三頂點等距離」這句講義重點背進去而已，你該不會是拿尺在螢幕上量的吧？ 回歸正傳，外心 $O$ 到頂點 $A$ 的距離就是半徑 $R$。從方格紙看，$A$ 點相對於 $O$ 是往右 1 單位、往上 3 單位，根據勾股定理： $$R = \overline{OA} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$$
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外心定軸是啥
外心
三角形外心的性質
💡 外心到三角形三頂點等距離，為外接圓圓心。
- 外心為三頂點中垂線交點，到三頂點等距。
- 在方格紙中，利用畢氏定理計算半徑 $OA$。
- 圓上任兩點距離的最大值為直徑。
- 直角三角形的外心位於斜邊中點。
