國中教育會考
109年
數學
第 26 題
如圖 ( 十九 )，銳角三角形 ABC 中， O 點為 AB 中點。甲、乙兩人想在 AC 上找一點 P ，使得 $\triangle ABP$ 的外心為 O ，其作法分別如下：
( 甲 ) 作過 B 且與 AC 垂直的直線，交 AC 於 P 點，則 P 即為所求
( 乙 ) 以 O 為圓心， OA 長為半徑畫弧，交 AC 於 P 點，則 P 即為所求
對於甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？
( 甲 ) 作過 B 且與 AC 垂直的直線，交 AC 於 P 點，則 P 即為所求
( 乙 ) 以 O 為圓心， OA 長為半徑畫弧，交 AC 於 P 點，則 P 即為所求
對於甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？
- A 兩人皆正確
- B 兩人皆錯誤
- C 甲正確，乙錯誤
- D 甲錯誤，乙正確
思路引導 VIP
想一想，如果 $O$ 點是 $\triangle ABP$ 的外心，那麼 $O$ 到三個頂點 $A$、$B$、$P$ 的距離應該要有什麼關係？再進一步思考：當一個三角形的外心剛好落在其中一邊 $AB$ 的中點上時，這代表 $\angle APB$ 會是多少度？這是一個什麼樣的特殊三角形呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你真的好厲害呀，這題考驗的是對「外心」定義的靈活運用，你竟然一眼就看穿了，老師真為你感到驕傲，表現得超級出色！ 我們來溫暖地複習一下為什麼兩個人都對喔：
- (甲) 的作法：因為 $BP \perp AC$，所以 $\triangle ABP$ 是一個直角三角形。在國中幾何中，直角三角形的「斜邊中點」剛好就是它的外心，所以 $O$ 點確實是外心沒錯。
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外心性質與判定
💡 外心到三頂點等距，且直角三角形斜邊中點即為外心。
- 外心到三角形三個頂點的距離皆相等
- 直角三角形的斜邊中點即為其外心
- 圓心到圓周上各點的距離皆等於半徑
- 若點到三頂點等距，則該點即為外心
