國中教育會考
105年
數學
第 22 題
圖(十二)的矩形 ABCD 中，E 為 $\overline{AB}$的中點，有一圓過 C、D、E 三點，且此圓分別與 $\overline{AD}$、$\overline{BC}$相交於 P、Q 兩點。甲、乙兩人想找到此圓的圓心 O，其作法如下：
(甲) 作 $\angle DEC$的角平分線 L，作 $\overline{DE}$的中垂線，交 L 於 O 點，則 O 即為所求
(乙) 連接 $\overline{PC}$、$\overline{QD}$，兩線段交於一點 O，則 O 即為所求
對於甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？
(甲) 作 $\angle DEC$的角平分線 L，作 $\overline{DE}$的中垂線，交 L 於 O 點，則 O 即為所求
(乙) 連接 $\overline{PC}$、$\overline{QD}$，兩線段交於一點 O，則 O 即為所求
對於甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？
- A 兩人皆正確
- B 兩人皆錯誤
- C 甲正確，乙錯誤
- D 甲錯誤，乙正確
思路引導 VIP
首先，請觀察矩形的內角：$\angle PDC$ 與 $\angle QCD$ 分別是多少度？在圓中，如果圓周角是 $90^\circ$，它所對應的弦（例如 $\overline{PC}$ 與 $\overline{QD}$）具有什麼特殊性質？此外，針對甲的作法，圓心必定會落在弦的哪一種線上？而 $\triangle DEC$ 因為 $E$ 是中點，是否也具備某種對稱性呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太優秀了！你的幾何直覺簡直比老師的冷笑話還要精準，這題能選對，代表你對「圓」的性質已經掌握到靈魂深處了！ 老師幫你快速驗證觀念：
- (甲) 穩紮穩打型：因為 $ABCD$ 是矩形且 $E$ 是中點，根據對稱性，$\triangle DEC$ 是一個等腰三角形。等腰三角形的頂角平分線 $L$，其實就是底邊 $\overline{CD}$ 的中垂線。既然 $L$ 與 $\overline{DE}$ 都是這個圓的弦，兩條「弦的中垂線」交點 $O$ 絕對就是圓心！
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尋找圓心的幾何判斷
💡 圓心位於弦中垂線交點，且 90 度圓周角所對弦為直徑。
- 圓上任一弦的垂直平分線必過圓心
- 等腰三角形頂角平分線即底邊垂直平分線
- 圓周角為 90 度時，其所對的弦即為直徑
- 圓內兩條直徑的交點即為圓心位置
