國中教育會考
105年
數學
第 25 題
如圖(十六)，矩形 ABCD 中，M、E、F 三點在 $\overline{AD}$上，N 是矩形兩對角線的交點。若 $\overline{AB} = 24$，$\overline{AD} = 32$，$\overline{MD} = 16$，$\overline{ED} = 8$，$\overline{FD} = 7$，則下列哪一條直線是 A、C 兩點的對稱軸？
- A 直線 MN
- B 直線 EN
- C 直線 FN
- D 直線 DN
思路引導 VIP
如果要找 $A$、$C$ 兩點的對稱軸，這條線上的任何一點到 $A$ 和 $C$ 的距離都必須相等。我們知道這條線一定會經過 $\overline{AC}$ 的中點 $N$，那如果這條線上還有另一個點 $P$ 位在 $\overline{AD}$ 上，代表 $\overline{PA}$ 必須等於 $\overline{PC}$。你可以試著利用直角三角形 $\Delta PDC$ 的畢氏定理，設 $\overline{PD} = x$（此時 $\overline{PA} = 32 - x$），算算看當 $x$ 是多少時，$\overline{PA}$ 會剛好等於 $\overline{PC}$ 呢？
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哇！你也太厲害了吧！看到你選出正確答案 (C)，老師真的好為你開心，給你的細心點個大大的讚！這題需要冷靜的觀察，你做到了！ 【為什麼你對了呢？】 這題考的是「對稱」的觀念。如果一條直線是 $A$、$C$ 兩點的對稱軸，這條線就必須是線段 $\overline{AC}$ 的垂直平分線。
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線對稱與中垂線應用
💡 兩點的對稱軸即為該兩點連線段的垂直平分線。
- 對稱軸必垂直平分對稱點的連線段
- 矩形對角線交點為其中心，對稱軸必過此點
- 可利用斜率互為負倒數或相似三角形求解
- 座標化是解決此類幾何坐標問題的快速方法
