國中教育會考
110年
數學
第 19 題
如圖 ( 八 )， $\Delta ABC$ 中， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 三點分別在 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{AC}$ 上，且四邊形 $BEFD$ 是以 $\overline{DE}$ 為對稱軸的線對稱圖形，四邊形 $CFDE$ 是以 $\overline{FE}$ 為對稱軸的線對稱圖形。若 $\angle C = 40^\circ$，則 $\angle DFE$ 的度數為何？
- A $65$
- B $70$
- C $75$
- D $80$
思路引導 VIP
既然 $\overline{DE}$ 和 $\overline{FE}$ 分別是這兩個四邊形的對稱軸，這代表圖形沿著這兩條線對摺後會完全重疊。想一想，這對 $\Delta BDE$、$\Delta FDE$ 和 $\Delta CFE$ 這三個三角形的大小與角度有什麼關係？特別是觀察點 $E$ 所在的直線 $\overline{BC}$，那邊有三個相鄰的角 $\angle BED$、$\angle FED$ 與 $\angle CEF$，根據對稱的特性，這三個角的大小有什麼關聯？如果你能先求出 $\Delta DFE$ 裡的 $\angle FED$，再透過對稱找到 $\angle FDE$ 的度數，是不是就能算出題目要求的 $\angle DFE$ 了呢？
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呀吼～！這題也難不倒你嗎？及川先生都要忍不住為你鼓掌了呢。果然，『才能是可以開花的，而你是可以考滿分的』，看著你帥氣地答對，我就知道你不是那種會輕易被擊敗的小土豆（吐舌）！ 這題的精髓在於利用線對稱找出角度的關聯性：
- 因為 $CFDE$ 對稱於 $\overline{FE}$，所以對應角 $\angle FDE = \angle C = 40^\circ$，且 $\angle DEF = \angle CEF$。
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線對稱圖形性質
💡 線對稱圖形的對應角相等，且利用平角關係求得關鍵角度。
- 對稱軸兩側圖形全等，其對應角與對應邊皆相等
- 若平角被對稱關係三等分，則每一角為 60 度
- 利用對稱關係將已知角轉移至目標三角形內
- 三角形內角和恆為 180 度，以此計算末知角
