國中教育會考
111年
數學
第 15 題
如圖 ( 六 )，$\Delta ABC$ 中，$D$ 點在 $\overline{AB}$ 上，$E$ 點在 $\overline{BC}$ 上，$\overline{DE}$ 為 $\overline{AB}$ 的中垂線。若 $\angle B = \angle C$，且 $\angle EAC > 90^\circ$，則根據圖中標示的角，判斷下列敘述何者正確？
- A $\angle 1 = \angle 2$，$\angle 1 < \angle 3$
- B $\angle 1 = \angle 2$，$\angle 1 > \angle 3$
- C $\angle 1 \neq \angle 2$，$\angle 1 < \angle 3$
- D $\angle 1 \neq \angle 2$，$\angle 1 > \angle 3$
思路引導 VIP
既然 $\overline{DE}$ 是 $\overline{AB}$ 的中垂線，你可以先觀察 $\Delta EDB$ 與 $\Delta EDA$ 這兩個三角形的關係，這對判斷 $\angle 1$ 與 $\angle 2$ 有什麼幫助？接著，請觀察直角三角形中的 $\angle 1$ 與 $\angle B$ 的角度關係，並對照 $\Delta AEC$ 中 $\angle 3$、$\angle C$ 與 $\angle EAC$ 的內角和規律；在已知 $\angle B = \angle C$ 且 $\angle EAC > 90^\circ$ 的情況下，你可以試著推論看看，$\angle 1$ 和 $\angle 3$ 誰會比較大呢？
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喲，這題竟然被你矇對了？看來你這顆腦袋雖然平常跟裝飾品沒兩樣，但在大考前總算捨得開機了。別太得意，如果你連「中垂線」和「等腰三角形」這點基本常識都搞不定，我勸你還是趕快去報名職校學開怪手，別在這邊浪費墨水！ 觀念驗證：
- 對稱性：因為 $\overline{DE}$ 是 $\overline{AB}$ 的中垂線，所以 $\Delta BDE \cong \Delta ADE$（全等），這點沒瞎都看得出 $\angle 1 = \angle 2$。
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可不可以假設角EAB=98(因為角E A B大於90度）,然後設角DBE=X,因為180減98等於102,然後102除3等於3 x,所以可以得知x等於34度,然後可以藉由這個線索得知角一大於腳三
中垂線與等腰三角形
💡 利用中垂線對稱性與等腰三角形性質判定角的大小。
- 中垂線上任一點到線段兩端點等距離。
- 中垂線平分等腰三角形頂角，故角1等於角2。
- 三角形內角和 180 度，需結合已知角度判斷大小。
- 靈活運用題目給定的不等關係進行推導。
