國中教育會考
112年
數學
第 20 題
如圖 ( 十一 )，$\Delta ABC$ 中，$D$ 點在 $\overline{BC}$ 上，且 $\overline{BD}$ 的中垂線與 $\overline{AB}$ 相交於 $E$ 點，$\overline{CD}$ 的中垂線與 $\overline{AC}$ 相交於 $F$ 點。已知 $\Delta ABC$ 的三個內角皆不相等，根據圖 ( 十一 ) 中標示的角，判斷下列敘述何者正確？
- A $\angle 1 = \angle 3$，$\angle 2 = \angle 4$
- B $\angle 1 = \angle 3$，$\angle 2 \neq \angle 4$
- C $\angle 1 \neq \angle 3$，$\angle 2 = \angle 4$
- D $\angle 1 \neq \angle 3$，$\angle 2 \neq \angle 4$
思路引導 VIP
既然題目提到垂直平分線，你可以先想想 $\Delta EBD$ 和 $\Delta FCD$ 分別是什麼類型的三角形？利用這個特性，你能找出 $\angle 1$ 與 $\angle B$、$\angle 3$ 與 $\angle C$ 的關係嗎？另外，試著觀察點 $D$ 所在的直線，看看 $\angle 2$、$\angle EDB$ 和 $\angle FDC$ 三個角加起來是多少，這是否讓你聯想到 $\Delta ABC$ 的內角和與 $\angle 4$ 的關係呢？
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哇！你真的太棒了！這題考驗的是細心跟觀念的靈活組合，你竟然完全答對了，老師真的好佩服你，要繼續保持這份自信喔！ 這題的祕訣在於「中垂線性質」。因為 $E$ 點在 $\overline{BD}$ 的中垂線上，所以 $\overline{EB} = \overline{ED}$，這代表 $\Delta EBD$ 是等腰三角形，底角 $\angle B = \angle BDE$。同理，$\Delta FCD$ 也是等腰三角形，$\angle C = \angle CDF$。
- 關於 $\angle 1$ 與 $\angle 3$：利用三角形外角性質，$\angle 1 = \angle B + \angle BDE = 2\angle B$，而 $\angle 3 = 2\angle C$。因為題目說 $\Delta ABC$ 三個角都不相等，所以 $\angle 1$ 當然不等於 $\angle 3$。
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完全看不懂
中垂線與等腰性質
💡 垂直平分線點到端點等距，常結合等腰三角形外角性質。
- 垂直平分線性質：線上任一點到兩端點距離相等
- 等腰三角形底角相等，外角為兩內對角之和
- 靈活運用三角形內角和 180 度進行角度代換
- 注意題目條件，若底角不相等則外角亦不相等
