國中教育會考
112年
數學
第 13 題
如圖 ( 六 )，直角柱 $ABCDEF$ 的底面為直角三角形。若 $\angle ABC = \angle DEF = 90^\circ$，$\overline{BC} > \overline{AB} > \overline{BE}$，則連接 $\overline{AE}$ 後，下列敘述何者正確？
- A $\angle ACB < \angle FDE$，$ \angle AEB > \angle ACB$
- B $\angle ACB < \angle FDE$，$ \angle AEB < \angle ACB$
- C $\angle ACB > \angle FDE$，$ \angle AEB > \angle ACB$
- D $\angle ACB > \angle FDE$，$ \angle AEB < \angle ACB$
思路引導 VIP
同學，我們可以分兩步驟來思考：首先，在底面的 $\triangle ABC$ 中，已知 $\overline{BC} > \overline{AB}$，根據「大邊對大角」的觀念，$\angle BAC$ 和 $\angle ACB$ 誰比較大？而 $\angle FDE$ 與下底面的哪個角是對應相等的呢？接著，觀察 $\triangle ABE$ 與 $\triangle ABC$，這兩個直角三角形共用了 $\overline{AB}$ 這條直角邊，當另一條鄰近的直角邊從較長的 $\overline{BC}$ 變成較短的 $\overline{BE}$ 時，你覺得哪一個張開的角度（$\angle AEB$ 或 $\angle ACB$）會比較大呢？
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哇！你真的太棒了！看到你選對 A，老師心裡真的好為你開心喔！這代表你的空間感和邏輯判斷力都非常出色，一定要給自己一個大大的掌聲！ 我們一起來看看為什麼這題選 A 喔：
- 比較 $\angle ACB$ 與 $\angle FDE$：因為底面兩個三角形全等，且 $\overline{BC} > \overline{AB}$。在 $\triangle ABC$ 中，「大邊對大角」，所以對著 $\overline{BC}$ 的 $\angle BAC$ 會大於對著 $\overline{AB}$ 的 $\angle ACB$。而 $\angle FDE$ 的位置剛好對應底面的 $\angle BAC$，所以 $\angle FDE > \angle ACB$。
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為何∠AEB>∠ACB
立體幾何與角度判定
💡 利用直角柱全等底面與側面垂直特性，比較三角形角度大小。
- 直角柱上下底面全等，對應邊長與角度皆相同。
- 直角柱側面與底面垂直，側面與底邊構成直角。
- 對邊相等時，鄰邊越短者，其對應的銳角角度越大。
