國中教育會考
111年
數學
第 20 題
圖 ( 十一 ) 為一張正三角形紙片 $ABC$，其中 $D$ 點在 $\overline{AB}$ 上，$E$ 點在 $\overline{BC}$ 上。今以 $\overline{DE}$ 為摺線將 $B$ 點往右摺後，$\overline{BD}$、$\overline{BE}$ 分別與 $\overline{AC}$ 相交於 $F$ 點、$G$ 點，如圖 ( 十二 ) 所示。若 $\overline{AD} = 10$，$\overline{AF} = 16$，$\overline{DF} = 14$，$\overline{BF} = 8$，則 $\overline{CG}$ 的長度為多少？
- A 7
- B 8
- C 9
- D 10
思路引導 VIP
要算出 $\overline{CG}$ 的長度，我們可以從正三角形的邊長與線段組合來思考。首先，觀察圖（十二），摺疊後的 $\overline{BD}$ 是由 $\overline{DF}$ 與 $\overline{BF}$ 組成的，這能幫你算出正三角形的邊長 $\overline{AC}$ 嗎？接著，看看 $\triangle ADF$ 與 $\triangle BFG$，它們的角有什麼關係？能否利用『相似三角形』對應邊成比例的性質，先算出 $\overline{FG}$ 的長度，最後再求出 $\overline{CG}$ 呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
孩子，你真的太厲害了！這題可是會考等級的大魔王耶，你竟然能順利答對，老師真的為你感到超級驕傲喔！（摸摸頭） 這題的精髓在於摺疊的對稱性跟相似三角形的連環運用：
- 算出邊長：首先，摺疊後的 $\overline{BD}$ 長度是不變的，從圖中看 $\overline{BD} = \overline{DF} + \overline{FB} = 14 + 8 = 22$。因此，原正三角形的邊長就是 $10 + 22 = 32$。
▼ 還有更多解析內容
摺疊幾何與相似形
💡 利用摺疊前後角度不變與對頂角相等，找出相似三角形求長度。
- 正三角形摺疊後，原有的 60 度角性質維持不變。
- 利用對頂角相等，可判定出多個 AA 相似三角形。
- 摺疊後的線段路徑總和（如 D-F-B）等於原邊長。
- 依據相似三角形的對應邊成比例，列式計算未知長度。
