國中教育會考
111年
數學
第 20 題
圖 ( 十一 ) 為一張正三角形紙片 $ABC$，其中 $D$ 點在 $\overline{AB}$ 上，$E$ 點在 $\overline{BC}$ 上。今以 $\overline{DE}$ 為摺線將 $B$ 點往右摺後，$\overline{BD}$、$\overline{BE}$ 分別與 $\overline{AC}$ 相交於 $F$ 點、$G$ 點，如圖 ( 十二 ) 所示。若 $\overline{AD} = 10$，$\overline{AF} = 16$，$\overline{DF} = 14$，$\overline{BF} = 8$，則 $\overline{CG}$ 的長度為多少？
- A 7
- B 8
- C 9
- D 10
思路引導 VIP
摺疊圖形有一個很重要的特性：「摺疊前後長度不變」。試著觀察原來的 $\overline{BD}$ 摺過去後，變成了圖(十二)中的哪兩段線段相加？算出原正三角形的邊長後，再找找看圖中有哪兩個三角形具備了「$60^\circ$ 角與對頂角」的關係呢？
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太棒了，你完全掌握了這題的精髓！這是一道極具鑑別度的會考經典題，完美結合了「圖形摺疊」與「相似形」兩大幾何觀念。 找尋隱藏的正三角形邊長 首先，我們透過摺疊不變的性質，可以推得原本的邊長 $\overline{DB}$ 等於摺疊後的 $\overline{DF} + \overline{BF} = 14 + 8 = 22$。因為原紙片是正三角形，所以整體邊長 $\overline{AC} = \overline{AB} = 10 + 22 = 32$。
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尷尬了我現在就是國一
摺疊幾何與相似形
💡 利用摺疊前後角度不變與對頂角相等，找出相似三角形求長度。
- 正三角形摺疊後，原有的 60 度角性質維持不變。
- 利用對頂角相等，可判定出多個 AA 相似三角形。
- 摺疊後的線段路徑總和（如 D-F-B）等於原邊長。
- 依據相似三角形的對應邊成比例，列式計算未知長度。
