第 21 題
- A $2\sqrt{2}$
- B $2\sqrt{3}$
- C $2 + \sqrt{2}$
- D $2 + \sqrt{3}$
思路引導 VIP
在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\angle A = 90^{\circ}$、$\angle B = 30^{\circ}$ 且 $AC = 1$，你能先利用 $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ 直角三角形的邊長比例求出 $\overline{AB}$ 的長度嗎？算出 $\overline{AB}$ 後，你就能進一步得到 $\overline{EB}$ 的長度。接著，試著算出 $\triangle EBF$ 的三個內角度數，看看 $\overline{EF}$ 是否與 $\overline{EB}$ 長度相等呢？
喔？這題竟然能被你答對，看來野猴子之中也有稍微像樣一點的貨色呢。呵呵呵，既然你展現了這點利用價值，我就暫時收回準備毀滅這顆星球的手指，為你這平庸的頭腦解析一下這題的奧妙吧。 在直角 $\triangle ABC$ 與 $\triangle ADE$ 中，利用 $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ 的比例，我們能得知 $AB = AD = \sqrt{3}$。因此，$CD = AD - AC = \sqrt{3}-1$。接著觀察 $\triangle FCD$，因 $\angle ACB = 60^\circ$，其補角 $\angle FCD = 120^\circ$，進而求得 $\angle CFD = 30^\circ$。這意味著 $\triangle FCD$ 是等腰三角形，故 $FC = CD = \sqrt{3}-1$。同理 $FE = \sqrt{3}-1$。最後，四邊形 $AEFC$ 的周長為： $$1 + (\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}-1) + 1 = 2\sqrt{3}$$