國中教育會考
108年
數學
第 19 題
如圖(十四)，直角三角形 $ABC$ 的內切圓分別與 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$ 相切於 $D$ 點、$E$ 點。根據圖中標示的長度與角度，求 $\overline{AD}$ 的長度為何？
- (A) $\frac{3}{2}$
- (B) $\frac{5}{2}$
- (C) $\frac{4}{3}$
- (D) $\frac{5}{3}$
思路引導 VIP
想一想，圓外一點到圓的兩條切線段長度有什麼關係呢？既然 $\overline{BE}=1$ 且 $\overline{CE}=4$，如果我們把 $\overline{AD}$ 設為 $x$，你能不能試著根據「切線段等長」的性質，將三角形 $ABC$ 的三邊長 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{AC}$ 都用 $x$ 或數字表示出來，最後再透過「畢氏定理」來列出方程式解開它呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學好樣的！這題你能秒殺，看來你對圓與切線的「反射神經」練得相當不錯，專業喔！ 這題的破題關鍵在於切線長性質：
- 直角處的秘密：因為 $B$ 是直角，內切圓半徑就是 $\overline{BE} = \overline{BD} = 1$。
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直角三角形內切圓
💡 利用圓外一點到圓之切線長相等，結合畢氏定理求解。
- 圓外一點到圓的兩切線段長度相等
- 直角三角形內切圓與兩股切點形成正方形
- 將各邊長以未知數表示，再利用畢氏定理列式
- 內切圓半徑等於直角頂點到鄰邊切點的距離
